Teknik Integrasi

Integrasi suatu fungsi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Proses integrasi kadang kala menghasilkan fungsi non-elementer.



Metode Substitusi
Misalkan g adalah fungsi diferensiabel dan F adalah anti-turunan dari f, maka jika u = g(x).


∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u)+C = F(g(x)) +C

Integral Parsial
Jika integral dengan substitusi tidak dapat dilakukan, maka coba lakukan integral double substitusi.
Integral double substitusi disebut juga integral parsial. Metode integral ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Jika du = u'(x) dx dan dv=v'(x) dx, maka dapat dituliskan integral parsial


∫ u(x) dv = u(x) v(x) - ∫ v(x) du


Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF

Materi Sebelumnya : Fungsi Hiperbolik
Materi Selanjutnya  : 

40 comments:

  1. Teknik integrasi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu dengan teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam materi teknik integrasi juga terdapat integral parsial yang disebut juga teknik doble substitusi dan metode ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi

    ReplyDelete
  2. Yang dapat saya simpulkan dari materi ini adalah Teknik Integrasi
    Integrasi suatu fungsi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu teknik substitusi dan teknik dobel substitusi.Materi teknik integrasi terdapat beberapa sub materi yaitu:Metode Substitusi;fungsi element;Integral Parsial;substitusi integral tentu dan tak tak tentu.

    ReplyDelete
  3. 1. A)Integral (x+2)^5 dx
    Misal u= x+2
    du=dx
    Integral u^5=1/6 u^6 +c
    =1/6(x+2)^6+c

    ReplyDelete
  4. 1 c. Integral e^x/2+e^xdx = integral 1/t
    = in (|t|)
    = in(| 2+e^x |)
    = in (2+e^x)
    = in (2+e^x) +C

    ReplyDelete
  5. hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, bisa jadi berupa anti turunan sedangkan bentuk-benuk fungsi elementer sendiri antara lain adalah:
    Fungsi Kosntan
    Fungsi Pangkat
    Fungsi Aljabar
    Fungsi Logaritma
    Fungsi Eksponensial
    Fungsi Trigonometri
    Fungsi Invers Trigonometri
    dan Semua Fungsi yang diperoleh dari fungsi-fungsi tersebut dengan
    penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi.

    ReplyDelete
  6. Dalam materi teknik integrasi terdapat 2 teknik penyelesaian yaitu substitusi integral dan integral parsial yng masing-masing nya dapat menyelesaiakan integral tentu maupun tak tentu.

    ReplyDelete
  7. 1. c) ∫ e×/2+e× dx
    Solusi
    Misal :
    u = 2+e×
    du = e× dx
    du/e× = dx
    dx = du/e×

    ∫e×/2+e× dx
    = ∫e×/u . du/e×
    = ∫du/u
    = ln |u| + C
    = ln |2+e×| + C
    = ln (2+e×) + C

    ReplyDelete
  8. Pada materi Minggu ini yang berjudul teknik integrasi, dapat di ringkas bahwa fungsi elementer ada 7 macam fungsi, yaitu : fungsi konstan, logaritma, trigonometri, invers trigonometri, pangkat, eksponensial, dan aljabar.
    Hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer.
    Ada 2 prinsip integrasi, yaitu : substitusi dan integral parsial
    Dimana substitusi ada yang substitusi integral tak tentu dan integral tentu.
    Dan integral parsial adalah metode yang berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Integral parsial juga ada integral parsial tak tentu dan integral parsial tentu.

    ReplyDelete
  9. a) u=x-2
    du = dx
    Int u^5dx= 1/5 u^4
    = 1/5 (x-2)^4

    b) u = x^2 + 1
    du = 2x dx
    xdx = 1/2 du

    Int x(x-2)^5 dx = 1/2 Int u^5 du
    = 1/2 ( 1/4(u)^4)
    = 1/8 (x-2)^4

    ReplyDelete
  10. Memahami dan menerapkan teknik-teknik pengintegralan, yaitu substitusi dan pengintegralan parsial dalam menentukan nilai integral.

    ReplyDelete
  11. 2. a) ∫xe^x dx
    Misal
    u = x --> du = dx
    dv = e^x dx --> v = e^x
    Sehingga
    ∫ xe^x dx = uv-∫ v du = xe^x-∫e^x dx = xe^x-e^x + c = e^x (x-1) + c

    ReplyDelete
  12. Jawaban Soal no. 1 e
    1e. ∫5/√(2x-1) dx
    Misal
    u = 2x-1
    du/dx = 2
    du = 2 dx
    1/2 du = dx
    ∫∫5/√(2x-1) dx
    = ∫5/√(2x-1) ×1/2 du
    = ∫5/(2√(2x-1)) du Substitusikan 2x-1 dengan u
    =∫5/(2√u) du
    = 5/2 ∫1/√u du
    = 5/2 × 2√u + C
    =5/2 × 2√(2x-1) + C
    = 5√(2x-1) + C

    ReplyDelete
  13. 1.b. Integral x(x^2+1)^5dx
    Penyelesaian:
    Misal
    U= x^2+1
    du= 2x dx

    Integral x(x^2+1)^5 dx
    =Integral (1/2x)(x)(u)^5 du
    =Integral 1/2 (u)^5 du
    = 1/12 u^6 + c
    = 1/12 (x^2+1)^6 + c

    ReplyDelete
  14. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  15. Pada materi saat ini yaitu teknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 cara :teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam prosesnya kadang menghasilkan fungsi non-elementer.
    Maksud fungsi elementer yaitu fungsi konstan, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi pangkat, fungsi aljabar, fungsi eksponensial, fungsi invers trigonometri.
    Substitusi integral tentu = substitusi integral tak tentu dengan mengganti batas integral.

    ReplyDelete
  16. 1) g.∫cosh 3x dx
    Jawab :
    Misalkan : u = 3x du = 3 dx
    Sehingga :
    ∫cosh 3x dx =1/3 ∫cosh u du
    = 1/3 sinh u+ C ⁡
    = 1/3 sinh 3x+ C

    ReplyDelete
  17. 3a)●misal:u=x^2 du=2xdx
    dv=(e^x)dx v=e^x
    ∫ (x^2)(e^2)dx=uv-∫ vdu
    =(x^2)(e^x)-∫( e^x)(2x)dx
    ●Misal:u=2x du=2dx
    dv=(e^x)dx v=e^x
    =(x^2)(e^x)-∫( e^x)(2x)dx
    =(x^2)(e^x)-[uv-∫vdu]
    =(x^2)(e^x)-[(2x)(e^x)-∫2e^xdx]
    =(x^2)(e^x)-[(2x)(e^x)-2e^x+c]
    =(x^2)(e^x)-(2x)(e^x)+2e^x+c

    ReplyDelete
  18. 1)c. Integral e^x/2+e^xdx = integral 1/t
    = in (|t|)
    = in(| 2+e^x |)
    = in (2+e^x)
    = in (2+e^x) +C

    ReplyDelete
  19. Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, maka
    dimungkinkan menggunakan substitusi ganda atau yang
    dikenal dengan integral parsial.

    ReplyDelete
  20. Dalam Pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik subtitusi, ada bentuk lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan.

    ReplyDelete
  21. 2 c. Int x^3 in x DX
    U =in x
    Du = 3x^2 dx
    V= 6x
    In x.3x^2- integral 6x.3x^2
    In x.3x^2-int 18x^3
    In x.3x^2- 9/2 x^4+c

    ReplyDelete
  22. Dari materi minggu ini membahas mengenai 7 Fungsi Elementer, namun hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, contohnya anti turunan dari e^(-x^2 ) . Selain itu terdapat juga penjelasan 2 prinsip integrasi,yaitu substitusi dan intergal persial.

    ReplyDelete
  23. Nomor 2.b

    ∫ x sin 2x dx

    misal
    u = x -> du = 1 dx
    dv = sin2x -> v = (-1/2)cos2x

    ∫ udv
    = uv - ∫vdu
    = x(-1/2)cos2x - ∫ (-1/2)cos2x dx
    = (-x/2)cos2x + (1/4)sin2x +C
    = (1/4)(sin2x - 2x cos2x) +C

    ReplyDelete
  24. Baiklah saya akan menjawab soal 3d
    ∫x² sin x dx =
    Misal u = x² maka du = 2x dx dan dv = sin x maka v = -cos x
    = ∫x² Sin x dx
    = x².-cos x - ∫-cos x. 2x dx
    = -x² cos x + ∫ cos x. 2x dx
    Misal u = 2x maka du = 2 dx dan dv = cos x maka v = sin x
    = -x² cos x + ∫ cos x. 2x dx
    = -x² cos x + (2x Sin x - ∫ Sin x 2 dx)
    = -x² cos x + 2x Sin x - 2(-cos x + C)
    = -x² cos x + 2x Sin x + 2 cos x + C

    ReplyDelete
  25. 2. c) ∫ x^3 ln x dx

    ∫ ln(x).x^3
    u = ln x
    dv = x^3 dx
    du = 1/x
    v = (x^4)/4

    = uv - ∫ v du
    = [ln x . (x^4)/x] - [ ∫(x^4)/x.(1/x)]
    = ln x . (x^4)/4 - ∫ (x^3)/4 dx
    = ln x . (x^4)/4 - 1/4 ∫ (x^3)/4 dx
    = ln x . (x^4)/4 - 1/4 . (x^4)/4 + C
    = (ln x . x^4)/4 - (1/4 . (x^4)/4) + C
    = (ln x . x^4)/4 - (x^4)/16 + C

    ReplyDelete
  26. Hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, contohnya anti
    turunan dari e^-x^2.

    Dan ada 2 prinsip integrasi,yaitu : substitusi dan integral parsial.

    ReplyDelete
  27. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakhatuh, maaf sebelumnya. Contoh penyelesaian Di slide no 8 itu, kok di solusi tiba tiba ad akar ya pak? padahal disoal tidak ada.

    ReplyDelete
  28. 1f. int e^cos(x) . sin (x) dx
    subtitusikan pertidaksamaan dengan dx=1/t dt
    dimana t= cos x, sehingga t=-sin t

    =int e^cos(x) . sin (x) . -1/sin x dt
    =int -e^cos(x)
    = -e^cos(x) + c

    2a. gunakan integral parsial
    int. xe^x dx
    maka : uv- int.v du
    =xe^x - int.e^x dx
    =xe^x - e^x + C

    ReplyDelete
  29. Teknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 teknik :
    1.teknik substitusi
    2.teknik dobel substitusi.
    Dalam materi teknik integrasi juga terdapat teknik doble substitusi dan metode ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua funsi.
    Latihan
    No.1
    A. ∫(x-2)^(5) dx
    Jawaban: 1/6(x-2)^(6)+C

    ReplyDelete
  30. Dalam Pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik subtitusi, ada bentuk lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan pada teknik yang sebelumnya tidak dapat digunakan.

    2. . c) ∫ x ^ 3 ln x dx

    ∫ ln (x) .x ^ 3
    u = ln x
    dv = x ^ 3 dx
    du = 1 / x
    v = (x ^ 4) / 4

    = uv - ∫ v du
    = [ln x. (x ^ 4) / x] - [∫ (x ^ 4) / x. (1 / x)]
    = ln x. (x ^ 4) / 4 - ∫ (x ^ 3) / 4 dx
    = ln x. (x ^ 4) / 4 - 1/4 ∫ (x ^ 3) / 4 dx
    = ln x. (x ^ 4) / 4 - 1/4. (x ^ 4) / 4 + C
    = (ln x. x ^ 4) / 4 - (1/4. (x ^ 4) / 4) + C
    = (ln x. x ^ 4) / 4 - (x ^ 4) / 16 + C

    ReplyDelete
  31. Dalam materi Teknik Integrasi ini, Hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer. Contohnya anti turunan dari e^x²
    Berikut dua prinsip integrasi yaitu substitusi dan integral parsial.

    ReplyDelete
  32. Saya akan menjawab soal no 1 bagian a dan b. Untuk soal no 1a.∫(x-2)⁵dx. Kita misalkan bahwa u = x-2 dan du = dx, maka ∫u⁵du. Kita selesaikan menjadi 1/6 u^6 + C. Kita substitusikan u = x-2, maka hasilnya menjadi 1/6 (x-2)^6 + C
    Untuk soal 1b. ∫x(x²+1)⁵ dx. Kita misalkan bahwa u= x²+1, dan ½du = x dx. Maka ∫u⁵½du. Kita selesaikan menjadi 1/12 u^6 + C. Kita substitusikan u= x²+1, maka hasilnya menjadi 1/12 (x²+1)^6 + C

    ReplyDelete
  33. Teknik integrasi
    Teknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu:teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam prosesnya kadang menghasilkan fungsi non-elementer.
    Maksud fungsi elementer yaitu fungsi konstan, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi pangkat, fungsi aljabar, fungsi eksponensial, fungsi invers trigonometri.
    Substitusi integral tentu substitusi integral tak tentu dengan mengganti batas integral.

    ReplyDelete

  34. 1. c) ∫ e×/2+e× dx
    Misal
    u = 2+e×
    du = e× dx
    du/e× = dx
    dx = du/e×

    ∫e×/2+e× dx
    = ∫e×/u . du/e×
    = ∫du/u
    = ln |u| + C
    = ln |2+e×| + C
    = ln (2+e×) + C
    Reply

    ReplyDelete
  35. Link kuis

    https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScIIu589c1EwtKbizGNMiz2XCMxidWamdc57eUp5FXxS_0LWg/viewform

    ReplyDelete