Fungsi Rasional
Dalam matematika, sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Misalnya
f(x) = p(x)/q(x)
Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Misalnya f(x)= (5x-1)/(x2 -1) dirubah menjadi f(x) =2/(x-1) + 3/(x+1)
Tahapan Dekomposisi Pecahan
- Jika f (x) improper (bukan fungsi rasional sebenarnya) maka p(x) dibagi dengan q(x) sehingga f(x) =M(x) + N(x)/D(x)
- Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terreduksi.
- Setiap faktor berbentuk (ax + b)k buat dekomposisi A1/(ax + b)+ A2/(ax + b)2+ . . . + Ak/(ax + b)k
- Setiap faktor berbentuk (ax2 + bx + c)m buat dekomposisi (B1x+C1)/ (ax2 + bx + c) + (B2x+C2)/ (ax2 + bx + c)2 + . . . + (Bmx+Cm)/ (ax2 + bx + c)m
- Atur bentuk N(x)/D(x) sama dengan penjumlahan semua suku yang ditemukan pada langkah 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
- Kalikan kedua sisi persamaan yang ditemukan pada tahap 5 dengan penyebut D(x) sehingga terbentuk persamaan baru, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF
Materi Sebelumnya : Teknik Integrasi
Materi Selanjutnya :
Dalam materi ini dapat disimpulkan bahwa materi Integral Fungsi Rasional memiliki beberapa sub materi yaitu teknik integrasi rasionalisasi;segitiga siku-siku bantuan;integral fungsi rasional;dekomposisi pecahan parsial;dekomposisi fungsi rasional dan lainnya.
ReplyDeleteThis comment has been removed by the author.
ReplyDelete1. a) ∫x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1 --> x = u²-1
du = 1/2 (x+1)^-½ dx
dx = 2 du √x+1 = 2u du
∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
= ∫ 2u⁴-2u² du
= 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
= 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
= 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
1b) ∫x³√x+π dx .
ReplyDeleteKita misalkan u = ³√x+π
maka u³ = x+π
x = u³-π
dx = 3u² du
∫(u³-π)u 3u²du
∫(3u⁶-3πu³) du
3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
Kita substitusikan nilai u menjadi
3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
atau
3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C
1. c)∫x/√3x+4 dx
ReplyDeleteMisal
u= (3x+4)½
u²= 3x+4
x= u²-4/x
dx= 2/3 u du
∫x/√3x+4 = ∫(u²-4)/u (2/3u du)
= 2/3 ∫1/3(u²-4) du
= 2/9 (1/3 u³-4u)
= 2/27 u³- 8/9 u + C
= 2/27 (3x+4)^3/2 - 8/9 (3x-4)^1/2 + C
1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
ReplyDeleteMisalkan : u= √(3x+4)
Maka U^2=3x+4,
(u^2 – 4)/3 =x
2u/3 du = dx
Maka:
∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
= ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
= 2/9 ∫u^2 – 4 du
= 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
= 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C
1. a) Integral x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
u^2= x+1
x = u^2-1
dx = 2u du
Maka:
Integral x √(x+1) dx
=Integral (u^2-1)(u)(2u) du
=Integral (2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
= 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
3a. ∫2 dx / (x^2 + 3x)
ReplyDeleteMaka : 2/ (x^2 – 3x ) = A/x – B/x+3
= (A+B)x + 3A / (x^2 +3x)
3A=2, maka A = 2/3, subtitusi nilai A . sehingga B= -2/3
mkaa
∫2 dx / (x^2 + 3x) = ∫ [ (2/3) / x – (2/3) / (x+3) dx ]
= 2/3 ∫ [1/x] dx – 2/3 ∫ [1/(x+3) ] dx
= 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C
3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
Sehingga :
(2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
Maka:
∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
= ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
= 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C
1.a. ∫x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
x = u²-1
du = 1/2 (x+1)^-½ dx
dx = 2 du √x+1 = 2u du
∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
= ∫ 2u⁴-2u² du
= 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
= 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
= 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
1. b.) ∫x ∛(x + μ)
ReplyDeletePenyelesaian :
Misalkan u = ∛(x + μ)
u^3 = x + μ, x = u^3- μ
3u^2=dx
Sehingga :
∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
= 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
= 3 ∫(u^6-πu^3) du
= 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
=( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
= 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)
1.a. ∫x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
x = u²-1
du = 1/2 (x+1)^-½ dx
dx = 2 du √x+1 = 2u du
∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
= ∫ 2u⁴-2u² du
= 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
= 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
= 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
1b) ∫x³√x+π dx .
Kita misalkan u = ³√x+π
maka u³ = x+π
x = u³-π
dx = 3u² du
∫(u³-π)u 3u²du
∫(3u⁶-3πu³) du
3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
Kita substitusikan nilai u menjadi
3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
atau
3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C
1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
Misalkan : u= √(3x+4)
Maka U^2=3x+4,
(u^2 – 4)/3 =x
2u/3 du = dx
Maka:
∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
= ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
= 2/9 ∫u^2 – 4 du
= 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
= 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C
Saya akan menjawab nomor 2d).
ReplyDelete∫dx/(√x² + 2x + 5)
Jawab
√x² + 2x + 5 dapat dirubah menjadi √(x + 1)² + 4
Kemudian:
Misal u= x + 1 maka du= dx
Menjadi ∫du/√u² + 4
Integral melibatkan bentuk √a² + x² maka substitusi dengan:
U= 2 tan t, -π/2<=t<=π/2
du= 2sec² t dt dan √u² + 4
= √4tan² t + 4
= √4sec² t = 2sec t
Sehingga:
∫du/(u² + 4)
= ∫2sec² t/(2sec t) dt
= In |(1 + sin t)/cos t| + C
= In |sec t + tan t| + C
= In |(√u² + 4) /2 + u/2| + C
= In |(√u² + 4) + u| - In 2 + C
= In |(√x² + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C
Dalam materi integral fungsi rasional ini, pembahasan di bagi atas beberapa point penting yaitu antara lain. Teknik integrasi rasionalisasi, segitiga siku siku bantuan, integral fungsi rasional, dekomposisi pecahan parsial, demoposisi pecahan rasional dan beberapa contoh-contoh yang dapat dipelajari dan dipahami.
ReplyDeleteNomor 3.c
ReplyDelete∫ (3x+2)/(x³+3x²+3x+1) dx
∫ (3x+2)/(x+1)³ dx
Bentuk tersebut dapat diubah menjadi
(3x+2)/(x+1)³ = A/(x+1) + B/(x+1)² + C/(x+1)³
(3x+2)/(x+1)³ = [A(x+1)²+B(x+1)+C]/(x+1)³
(3x+2)/(x+1)³ = [(A)x²+(2A+B)x+(A+B+C)]/(x+1)³
Diperoleh
A = 0
2A+B = 3 -> B = 3
A+B+C = 2 -> C = -1
sehingga
(3x+2)/(x+1)³ = 0/(x+1) + 3/(x+1)² - 1/(x+1)³
(3x+2)/(x+1)³ = 3/(x+1)² - 1/(x+1)³
Maka
∫ (3x+2)/(x+1)³ dx
= ∫ [3/(x+1)² - 1/(x+1)³] dx
= 3 ∫ 1/(x+1)² dx - ∫ 1/(x+1)³ dx
Misalin u = x+1 dan du = dx
Menjadi
= 3 ∫1/u² du - ∫ 1/u³ du
= 3 ∫u⁻² du - ∫u⁻³ du
= 3 ( - u⁻¹ ) - (-u⁻²/2) +C
= -3/u + 1/2u² + C
Kembalikan u = x+1
= -3/(x+1) + 1/2(x+1)² +C
= [-6(x+1)+1]/[2(x+1)²] +C
= (-6x-5)/2(x+1)² +C
= - [6x+5]/[2(x+1)²] +C
1 a).Integral x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
u^2= x+1
x = u^2-1
dx = 2u du
Maka:
Integral x √(x+1) dx
=Integral (u^2-1)(u)(2u) du
=Integral (2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
= 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
1b).integral x³√x+π dx .
Kita misalkan u = ³√x+π
maka u³ = x+π
x = u³-π
dx = 3u² du
∫(u³-π)u 3u²du
∫(3u⁶-3πu³) du
3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
Kita substitusikan nilai u menjadi
3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
atau
3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C
2. f. - √4x-x² + 2 sin^-1 (x-2/2) + c
ReplyDeleteSaya akan mencoba sedikit meringkas materi Teknik integrasi rasional
ReplyDelete-Jika n√(ax+b), maka substitusi u = n√(ax+b) akan menghilangkan akar.
-Definisi : fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial
-Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional
-Tahapan dekomposisi
1. f(x) = M(x) + N(x)/D(x)
2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terprediksi
3. Buat dekomposisi A1/(ax+b) + A2/(ax+b)^2 +...+ Ak/(ax+b)^k
4. Faktor berbentuk ax^2+bx+c buat dekomposisi (B1x+C1)/(ax^2+bx+c) + (B1x+C1)/(ax^2+bx+c)^2 +...+ (Bmx+Cm)/(ax^2+bx+c)^m
5. Atur N(x)/D(x) sama dengan tahap 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
6. Kalikan kedua sisi, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari bab dekomposisi pecahan persial
ReplyDeleteDekomposisi pecahan persial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
Dekomposisi pecahan persial f(x) = p(x) /q(x)
a. Jika f(x) improper maka p(x) dibagi q(x)
f(x) = M(x) + N(x) /D(x)
b. Faktorkan D(x) perkalian faktor linear dan kuadrat tak terreduksi
c. Setiap faktor berbentuk (ax+b)^k dikomposisikan
A1/(ax+b) + A2/(ax+b)² +.... + Ak/(ax+b)^k
d. Setia faktor berbentuk ax²+bx+c)^m dikomposisikan
B1x+C1/(ax²+bx+c) + B2x+C2/(ax²+bx+c)² +.... + Bmx+Cm/(ax²+bx+c)^m
1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
ReplyDeleteMisalkan : u= √(3x+4)
Maka U^2=3x+4,
(u^2 – 4)/3 =x
2u/3 du = dx
Maka:
∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
= ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
= 2/9 ∫u^2 – 4 du
= 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
= 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakhatuh
ReplyDelete3.a ln[(x+3)²x³/e²]+c
Dalam penyelesaian soal ini, langkah yang dapat ditempuh pertama dengan memecah pecanhan parsial. Kemudian di lanjutkan dengan subtitusi, selanjutnya dilakukan penyederhanaan hasil. Untuk praktis nya,m t teman dapat mencari sendiri. Terimakasih
Intinya, integral tidak hanya dapat dilakukan dengan integral patial dan subtitusi, melainkan dapat diselesaikan dengan sederhana melalui manipulasi aljabar. Walaupun terkadang langkah yang di peroleh cukup panjang.
DeleteDalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu:
ReplyDeleteDerajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutDerajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebutPembilang merupakan turunan dari penyebutFaktor Linier yang Berbeda pada PenyebutFaktor Linier yang berulangFaktor Linier Berbeda dan Ada yang berulangPenyebut mengandung faktor kuadrat tunggalPenyebut mengandung faktor kuadrat berulang.
3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
ReplyDeleteSehingga :
(2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
Maka:
∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
= ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
= 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C
Dalam fungsi rasional dapat di integralkan dengan teknik tertentu yang diantaranya adalah teknik dekomposisi fungsi pecahan
ReplyDeleteFungsi rasional disebut juga dengan pembagian dua fungsi polinomial.
Didalam fungsi rasional terdapat juga dekomposisi pecahan dimana dekomposisi pecahan tersebut mempunyai 8 tahapan
1.A)Integral x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
u^2= x+1
x = u^2-1
dx = 2u du
Maka:
Integral x √(x+1) dx
=Integral (u^2-1)(u)(2u) du
=Integral (2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
= 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
This comment has been removed by the author.
ReplyDeleteDefinisi
ReplyDeleteFungsi Rasional adalah Pembagian dua fungsi Polinomial.
Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
Jawaban
1b)∫x^(3)√(x+ π) dx
Solusi
Misal
u = x + π
du/dx = 1
du = dx
∫x^(3)√(x+ π) dx
= ∫x^(3)√(x+ π) du Substitusikan X dengan u-π
= ∫(u-π)∛(x+π) du Substitusikan x + π dengan u
= ∫(u-π)∛u du
= ∫(∛u - ∫π∛u du
= ∫u u^(1⁄3) - ∫π u^(1⁄3) du
= ∫u^(4⁄3) du - ∫π u^(1⁄3) du
=(3u^(2)∛u)/7 - (3πu∛u)/4 + C Substitusikan u dengan x+π
=(3(x+π)^(2)∛(x+π))/7 - (3 π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
=(3∛(x+π)(x^2+2πx+π^2))/7 - (3π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
2a) ∫√(4-x^2)/x dx
Solusi
Integrand melibatkan bentuk akar √(x^(2)-a^2) maka substitusi dengan x = 2 sin t , -π/2 ≤ t ≤ π/2
x = 2 sin t
dx/dt = 2 cos t
dx = 2 cos t dt
√(4-x^2) = √(4-4sin(t)^2) = √(4 (1-sin(t)^2) = √(4cos(t)^2) = 2 cos t
∫√(4-x^2)/x dx
= ∫(2 cos t)/(2 sin t) (2 cos t)dt
= 2×2 ∫coth(t) cos (t) dt
= 2×2 ∫cos t/sin t cos(t) dt
= 4 ∫cos(t)^2/sint dt
= 4 ∫1-sin(t)^2/sin t dt
= 4 (∫1/sin(t) dt- ∫sin(t) dt)
= 4 In|(tan(t/2))| + 4 cos(t) + C
This comment has been removed by the author.
ReplyDelete1c.∫x/√3x+4dx
ReplyDelete●misal:
u=√3x+4
U^2=3x+4
3x=(u^2)-4
X=(u^2)-4/3
x=1/3 ((u^2)-4)
dx/du=1/3 2u
Dx=2/3 u du
∫x/√3x+4dx=(1/3(u^2)-4 × 1/3 2u du)/u
=2/9 ∫(u^2)-4 du
=2/9 [1/3(u^3)-4u]+c
2/27(u^3)-8/9u+c
=2/27 ((3x+4)^3/2)-8/9 (3x+4)+c
Dari materi ini dapat diambil kesimpulan bahwasannya Dekomposisi merupakan salah satu cara sederhana untuk menyelesaikan masalah pengintegralan fungsi rasional. Karena dalam dekomposisi, kita menguraikan suatu bentuk fungsi rasional menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan parsial.
ReplyDelete2.a integral √(4-x²)/x dx
ReplyDeleteJawab:
√(4-x²)=√(2²-x²)
= 2 cos(t)
x = 2sin(t)
dx = 2cos(t) dt
Penyelesaian:
Integral √(4-x²)/x dx = integral [2cos(t)/2sin(t)]× 2cos(t) dt
= (2/2)×2 integral [cos(t)/sin(t)]× cos(t) dt
= 2 integral cos²(t)/sin(t) dt
= 2 integral [1-sin(t)]/sin(t) dt
= 2 integral [1/sin(t)]-[sin²(t)/sin(t)] dt
= 2 integral [1/sin(t)]- sin(t) dt
= 2 integral 1/sin(t) dt - integral sin(t) dt
= 2[in[tan(t/2)]+ cos(t)]
= 2in [tan(t/2)]+ 2cos(t) + C
Jawaban 2d :
ReplyDeleteIn |(√x^2 + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C
Pada materi ini dibagi dalam judul besar sub-bahasan yaitu :
ReplyDelete• Teknik integrasi rasionalisasi
• instagral fungsi rasional yaitu pembagian dua fungsi polinomial
• dekomposisi pecahan parsial yaitu merubah suatu fungsi rasional ~> menjumlahkan beberapa fungsi rasional
• Dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x)/q(x)
Jawaban soal
1) integral x√(x+1) dx
Solusi :
Misal
U= √(x+1)
U^2 = x+1
x = u^2-1
Dx = 2u du
Maka :
Integral dari x√(x+1)dx
=integral (u^2-1)u. 2u du
=integral 2u^4-2u^2 du
=2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
=2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)^3 + C
=2/5 (x+1)^5/2 - 2/3 (x+1)^3/2 + C
1.
ReplyDeletea) ∫x√(x+1)dx
u = √(x+1), u^2= x+1
x = u^2-1, dx = 2u du
Jadi, ∫x√(x+1)dx =
= ∫(u^2-1)(u) 2u du
= ∫(u^2-1)(2u^2) du
= ∫(2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3(x+1)^3 + C
= 2/5 (√(x+1))^(5/2) - 2/3 (√(x+1))^(3/2) + C
1 a
ReplyDelete∫x√(x+1) dx
u=x+1^1/2
u^2=x+1
x=x^2-1
dx+2udu
∫x√(x+1) dx
=∫(u^2-1)(u)(2u)du
=∫2u^4-2u^2 du
=2/5u^5-2/3u^3 + C
=2/5(x+1)^5/2-2/3(u+1)^3/2 + C
1 a).Integral x√(x+1) dx
ReplyDeletemisal :
u = √x+1
u^2= x+1
x = u^2-1
dx = 2u du
Maka:
Integral x √(x+1) dx
=Integral (u^2-1)(u)(2u) du
=Integral (2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
= 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c
3 b). ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
Sehingga :
(2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
Maka:
∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
= ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
= 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C
Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Contohnnya :
ReplyDelete3a. ∫2 / (x^2 + 3x) dx = 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C
3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C
Fungsi rasional yaitu sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial.
ReplyDeleteDekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
Latihan
no.1
b.) ∫x ∛(x + μ)
Penyelesaian :
Misalkan
u = ∛(x + μ)
x = u^3- μ
3u^2=dx
Sehingga :
∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
= 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
= 3 ∫(u^6-πu^3) du
= 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
=( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
= 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)
atau
= 3/7 (x²+2μx+μ²)³√x+μ + 3/4 (x+μ)³√x+μ + C
This comment has been removed by the author.
ReplyDeleteJawaban soal nomor 1 dan 2
ReplyDelete1. a) ∫ x √x+1 dx
Misal :
u = √x+1
u^2 = x+1
x = u^2-1
dx = 2u du
Maka :
∫ x √(x+1) dx
= ∫ (u^2-1)(u)(2u) du
= ∫ (2u^4-2u^2) du
= 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
= 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + C
2. f) ∫ x / √4x-x^2 dx
= ∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx
Misal :
u = x-2
x = u+2
Maka :
∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx
= ∫ u+2 / √-u^2 + 4 du
Lalu kita masukkan ke dalam substitusi trigonometri
u = 2sin (v)
Maka didapatkan.
= ∫ 2(sin (v) + 1 ) dv
= 2 . ∫ sin (v) + 1 dv
= 2 . ∫ sin (v) dv + ∫ 1 dv
= 2 (-cos (v) + v)
Substitusi kembali, v = arcsin (1/2 u), u = x-2
= 2 (-cos (arcsin (1/2 (x-2))) + arcsin (1/2 (x-2)))
= - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1)
= - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1) + C
Yang dijelaskan dari materi Integral Fungsi Rasional ini adalah teknik yang digunakan dalam integrasi rasional, salah satunya Dekomposisi Fungsi Pecahan. Dalam dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x) / q(x) terdapat 6 tahapan yang perlu diketahui dan dipahami. Fungsi Rasional merupakan pembagian dari 2 fungsi polinomial.
ReplyDeleteJawaban soal no 1a
ReplyDeleteIntegral dari x√x+1 dx
Misal :
U= √x+1
U²= x+1
X= U²-1
Dx= 2u du
Maka :
Integral dari x√(x+1) dx
= integral (U²-1). (U) (2 du)
= integral (2U^4 - 2U²) du
= 2/5 U^5 - 2/3 U³ + C
= 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + C
Jawaban 1b)
Delete1b).integral x³√x+π dx .
*misal u = ³√x+π
maka u³ = x+π
x = u³-π
dx = 3u² du
∫(u³-π)u 3u²du
∫(3u⁶-3πu³) du
3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
*substitusikan nilai u sehingga diperoleh:
3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
atau
3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C