Kumpulan Soal

Kumpulan Soal

Halaman ini menyediakan tautan soal-soal UTS dan UAS. Jika beruntung, Anda dapat memperoleh soal yang update.

Jumat, 08 Mei 2020

Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional dapat diintegralkan dengan teknik tertentu. Diantara tekniknya adalah dekomposisi fungsi pecahan.






Fungsi Rasional
Dalam matematika, sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Misalnya

f(x) = p(x)/q(x) 

Dekomposisi Fungsi Pecahan
Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Misalnya f(x)= (5x-1)/(x2 -1) dirubah menjadi f(x) =2/(x-1) + 3/(x+1)

Tahapan Dekomposisi Pecahan
  1. Jika f (x) improper (bukan fungsi rasional sebenarnya) maka p(x) dibagi dengan q(x) sehingga f(x) =M(x) + N(x)/D(x)
  2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terreduksi.
  3. Setiap faktor berbentuk (ax + b)k buat dekomposisi A1/(ax + b)+ A2/(ax + b)2+ . . . + Ak/(ax + b)k 
  4. Setiap faktor berbentuk (ax2 + bx + c)m buat dekomposisi (B1x+C1)/  (ax2 + bx + c) + (B2x+C2)/  (ax2 + bx + c)2  + . . . + (Bmx+Cm)/  (ax2 + bx + c)m
  5. Atur bentuk N(x)/D(x) sama dengan penjumlahan semua suku yang ditemukan pada langkah 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
  6. Kalikan kedua sisi persamaan yang ditemukan pada tahap 5 dengan penyebut D(x) sehingga terbentuk persamaan baru, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF

Materi Sebelumnya : Teknik Integrasi
Materi Selanjutnya  : 
di
Label:

43 komentar:

  1. Losi eka putri8 Mei 2020 pukul 15.14

    Dalam materi ini dapat disimpulkan bahwa materi Integral Fungsi Rasional memiliki beberapa sub materi yaitu teknik integrasi rasionalisasi;segitiga siku-siku bantuan;integral fungsi rasional;dekomposisi pecahan parsial;dekomposisi fungsi rasional dan lainnya.

    BalasHapus
  2. Shafira Nurulita8 Mei 2020 pukul 15.25

    Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  3. Shafira Nurulita8 Mei 2020 pukul 15.30

    1. a) ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1  --> x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du  
                 = ∫ 2u⁴-2u² du
                 = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
                 = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
                 = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c


    BalasHapus
  4. Esti Marsela8 Mei 2020 pukul 15.37

    1b) ∫x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    BalasHapus
  5. Zelly Permata Sari8 Mei 2020 pukul 16.47

    1. c)∫x/√3x+4 dx
    Misal
    u= (3x+4)½
    u²= 3x+4
    x= u²-4/x
    dx= 2/3 u du

    ∫x/√3x+4 = ∫(u²-4)/u (2/3u du)
    = 2/3 ∫1/3(u²-4) du
    = 2/9 (1/3 u³-4u)
    = 2/27 u³- 8/9 u + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 - 8/9 (3x-4)^1/2 + C

    BalasHapus
  6. erlina sihombing8 Mei 2020 pukul 16.53

    1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    BalasHapus
  7. Rahmah Isnaini8 Mei 2020 pukul 17.11

    1. a) Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    BalasHapus
  8. erlina sihombing8 Mei 2020 pukul 18.28

    3a. ∫2 dx / (x^2 + 3x)
    Maka : 2/ (x^2 – 3x ) = A/x – B/x+3
    = (A+B)x + 3A / (x^2 +3x)
    3A=2, maka A = 2/3, subtitusi nilai A . sehingga B= -2/3
    mkaa
    ∫2 dx / (x^2 + 3x) = ∫ [ (2/3) / x – (2/3) / (x+3) dx ]
    = 2/3 ∫ [1/x] dx – 2/3 ∫ [1/(x+3) ] dx
    = 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C

    3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    BalasHapus
  9. Elisabeth rajagukguk8 Mei 2020 pukul 18.55

    1.a. ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
    = ∫ 2u⁴-2u² du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
    = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    BalasHapus
  10. Novi Siska Safitri9 Mei 2020 pukul 07.03

    1. b.) ∫x ∛(x + μ)
    Penyelesaian :
    Misalkan u = ∛(x + μ)
    u^3 = x + μ, x = u^3- μ
    3u^2=dx
    Sehingga :
    ∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
    = 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
    = 3 ∫(u^6-πu^3) du
    = 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
    =( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
    = 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)

    BalasHapus
  11. Vera anggelia oktavia9 Mei 2020 pukul 22.47

    1.a. ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
    = ∫ 2u⁴-2u² du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
    = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    1b) ∫x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    BalasHapus
  12. Fajri Ramadan10 Mei 2020 pukul 11.57

    Saya akan menjawab nomor 2d).
    ∫dx/(√x² + 2x + 5)
    Jawab
    √x² + 2x + 5 dapat dirubah menjadi √(x + 1)² + 4
    Kemudian:
    Misal u= x + 1 maka du= dx
    Menjadi ∫du/√u² + 4
    Integral melibatkan bentuk √a² + x² maka substitusi dengan:
    U= 2 tan t, -π/2<=t<=π/2
    du= 2sec² t dt dan √u² + 4
    = √4tan² t + 4
    = √4sec² t = 2sec t
    Sehingga:
    ∫du/(u² + 4)
    = ∫2sec² t/(2sec t) dt
    = In |(1 + sin t)/cos t| + C
    = In |sec t + tan t| + C
    = In |(√u² + 4) /2 + u/2| + C
    = In |(√u² + 4) + u| - In 2 + C
    = In |(√x² + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C

    BalasHapus
  13. deksu.1210 Mei 2020 pukul 13.37

    Dalam materi integral fungsi rasional ini, pembahasan di bagi atas beberapa point penting yaitu antara lain. Teknik integrasi rasionalisasi, segitiga siku siku bantuan, integral fungsi rasional, dekomposisi pecahan parsial, demoposisi pecahan rasional dan beberapa contoh-contoh yang dapat dipelajari dan dipahami.

    BalasHapus
  14. Imam Dhaifullah10 Mei 2020 pukul 14.09

    Nomor 3.c
    ∫ (3x+2)/(x³+3x²+3x+1) dx
    ∫ (3x+2)/(x+1)³ dx

    Bentuk tersebut dapat diubah menjadi
    (3x+2)/(x+1)³ = A/(x+1) + B/(x+1)² + C/(x+1)³

    (3x+2)/(x+1)³ = [A(x+1)²+B(x+1)+C]/(x+1)³

    (3x+2)/(x+1)³ = [(A)x²+(2A+B)x+(A+B+C)]/(x+1)³

    Diperoleh
    A = 0
    2A+B = 3 -> B = 3
    A+B+C = 2 -> C = -1

    sehingga
    (3x+2)/(x+1)³ = 0/(x+1) + 3/(x+1)² - 1/(x+1)³
    (3x+2)/(x+1)³ = 3/(x+1)² - 1/(x+1)³

    Maka
    ∫ (3x+2)/(x+1)³ dx
    = ∫ [3/(x+1)² - 1/(x+1)³] dx
    = 3 ∫ 1/(x+1)² dx - ∫ 1/(x+1)³ dx

    Misalin u = x+1 dan du = dx
    Menjadi

    = 3 ∫1/u² du - ∫ 1/u³ du
    = 3 ∫u⁻² du - ∫u⁻³ du
    = 3 ( - u⁻¹ ) - (-u⁻²/2) +C
    = -3/u + 1/2u² + C

    Kembalikan u = x+1
    = -3/(x+1) + 1/2(x+1)² +C
    = [-6(x+1)+1]/[2(x+1)²] +C
    = (-6x-5)/2(x+1)² +C
    = - [6x+5]/[2(x+1)²] +C

    BalasHapus
  15. Miranda10 Mei 2020 pukul 14.23

    1 a).Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    1b).integral x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    BalasHapus
  16. Desnawati Hutapea11 Mei 2020 pukul 09.13

    2. f. - √4x-x² + 2 sin^-1 (x-2/2) + c

    BalasHapus
  17. Nadia Putri Wulandari11 Mei 2020 pukul 13.26

    Saya akan mencoba sedikit meringkas materi Teknik integrasi rasional
    -Jika n√(ax+b), maka substitusi u = n√(ax+b) akan menghilangkan akar.
    -Definisi : fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial
    -Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional
    -Tahapan dekomposisi
    1. f(x) = M(x) + N(x)/D(x)
    2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terprediksi
    3. Buat dekomposisi A1/(ax+b) + A2/(ax+b)^2 +...+ Ak/(ax+b)^k
    4. Faktor berbentuk ax^2+bx+c buat dekomposisi (B1x+C1)/(ax^2+bx+c) + (B1x+C1)/(ax^2+bx+c)^2 +...+ (Bmx+Cm)/(ax^2+bx+c)^m
    5. Atur N(x)/D(x) sama dengan tahap 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
    6. Kalikan kedua sisi, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

    BalasHapus
  18. Riska Endri11 Mei 2020 pukul 22.39

    Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari bab dekomposisi pecahan persial
    Dekomposisi pecahan persial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Dekomposisi pecahan persial f(x) = p(x) /q(x)
    a. Jika f(x) improper maka p(x) dibagi q(x)
    f(x) = M(x) + N(x) /D(x)
    b. Faktorkan D(x) perkalian faktor linear dan kuadrat tak terreduksi
    c. Setiap faktor berbentuk (ax+b)^k dikomposisikan
    A1/(ax+b) + A2/(ax+b)² +.... + Ak/(ax+b)^k
    d. Setia faktor berbentuk ax²+bx+c)^m dikomposisikan
    B1x+C1/(ax²+bx+c) + B2x+C2/(ax²+bx+c)² +.... + Bmx+Cm/(ax²+bx+c)^m

    BalasHapus
  19. bunga aulya warrahma11 Mei 2020 pukul 23.41

    1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    BalasHapus
  20. Meca12 Mei 2020 pukul 07.24

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakhatuh
    3.a ln[(x+3)²x³/e²]+c

    Dalam penyelesaian soal ini, langkah yang dapat ditempuh pertama dengan memecah pecanhan parsial. Kemudian di lanjutkan dengan subtitusi, selanjutnya dilakukan penyederhanaan hasil. Untuk praktis nya,m t teman dapat mencari sendiri. Terimakasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Meca12 Mei 2020 pukul 07.30

      Intinya, integral tidak hanya dapat dilakukan dengan integral patial dan subtitusi, melainkan dapat diselesaikan dengan sederhana melalui manipulasi aljabar. Walaupun terkadang langkah yang di peroleh cukup panjang.

      Hapus
  21. Dian Anggraini12 Mei 2020 pukul 07.51

    Dalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu:
    Derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutDerajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebutPembilang merupakan turunan dari penyebutFaktor Linier yang Berbeda pada PenyebutFaktor Linier yang berulangFaktor Linier Berbeda dan Ada yang berulangPenyebut mengandung faktor kuadrat tunggalPenyebut mengandung faktor kuadrat berulang.

    BalasHapus
  22. Shelli claresi12 Mei 2020 pukul 08.13

    3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    BalasHapus
  23. Sondang Venita Br. Samosir12 Mei 2020 pukul 09.10

    Dalam fungsi rasional dapat di integralkan dengan teknik tertentu yang diantaranya adalah teknik dekomposisi fungsi pecahan
    Fungsi rasional disebut juga dengan pembagian dua fungsi polinomial.
    Didalam fungsi rasional terdapat juga dekomposisi pecahan dimana dekomposisi pecahan tersebut mempunyai 8 tahapan

    BalasHapus
  24. citra dewi romauli silaban12 Mei 2020 pukul 09.56

    1.A)Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    BalasHapus
  25. Lucia Iqta Nurfirza12 Mei 2020 pukul 12.09

    Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  26. Vivin Acnesya12 Mei 2020 pukul 12.27

    Definisi
    Fungsi Rasional adalah Pembagian dua fungsi Polinomial.
    Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Jawaban
    1b)∫x^(3)√(x+ π) dx
    Solusi
    Misal
    u = x + π
    du/dx = 1
    du = dx
    ∫x^(3)√(x+ π) dx
    = ∫x^(3)√(x+ π) du Substitusikan X dengan u-π
    = ∫(u-π)∛(x+π) du Substitusikan x + π dengan u
    = ∫(u-π)∛u du
    = ∫(∛u - ∫π∛u du
    = ∫u u^(1⁄3) - ∫π u^(1⁄3) du
    = ∫u^(4⁄3) du - ∫π u^(1⁄3) du
    =(3u^(2)∛u)/7 - (3πu∛u)/4 + C Substitusikan u dengan x+π
    =(3(x+π)^(2)∛(x+π))/7 - (3 π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
    =(3∛(x+π)(x^2+2πx+π^2))/7 - (3π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
    2a) ∫√(4-x^2)/x dx
    Solusi
    Integrand melibatkan bentuk akar √(x^(2)-a^2) maka substitusi dengan x = 2 sin t , -π/2 ≤ t ≤ π/2
    x = 2 sin t
    dx/dt = 2 cos t
    dx = 2 cos t dt
    √(4-x^2) = √(4-4sin⁡(t)^2) = √(4 (1-sin⁡(t)^2) = √(4cos⁡(t)^2) = 2 cos t
    ∫√(4-x^2)/x dx
    = ∫(2 cos ⁡t)/(2 sin ⁡t) (2 cos t)dt
    = 2×2 ∫coth⁡(t) cos (t) dt
    = 2×2 ∫cos⁡ t/sin⁡ t cos(t) dt
    = 4 ∫cos(t)^2/sin⁡t dt
    = 4 ∫1-sin(t)^2/sin⁡ t dt
    = 4 (∫1/sin⁡(t) dt- ∫sin⁡(t) dt)
    = 4 In|(tan(t/2))| + 4 cos(t) + C

    BalasHapus
  27. Beti Septiana12 Mei 2020 pukul 12.37

    Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  28. Beti Septiana12 Mei 2020 pukul 12.38

    1c.∫x/√3x+4dx
    ●misal:
     u=√3x+4
    U^2=3x+4
    3x=(u^2)-4
    X=(u^2)-4/3
    x=1/3 ((u^2)-4)
    dx/du=1/3 2u
    Dx=2/3 u du
    ∫x/√3x+4dx=(1/3(u^2)-4 × 1/3 2u du)/u
    =2/9 ∫(u^2)-4 du
    =2/9 [1/3(u^3)-4u]+c
    2/27(u^3)-8/9u+c
    =2/27 ((3x+4)^3/2)-8/9 (3x+4)+c

    BalasHapus
  29. Nike Apri Yani12 Mei 2020 pukul 12.59

    Dari materi ini dapat diambil kesimpulan bahwasannya Dekomposisi merupakan salah satu cara sederhana untuk menyelesaikan masalah pengintegralan fungsi rasional. Karena dalam dekomposisi, kita menguraikan suatu bentuk fungsi rasional menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan parsial.

    BalasHapus
  30. Lucia Iqta Nurfirza12 Mei 2020 pukul 13.57

    2.a integral √(4-x²)/x dx
    Jawab:
    √(4-x²)=√(2²-x²)
    = 2 cos(t)

    x = 2sin(t)
    dx = 2cos(t) dt
    Penyelesaian:
    Integral √(4-x²)/x dx = integral [2cos(t)/2sin(t)]× 2cos(t) dt
    = (2/2)×2 integral [cos(t)/sin(t)]× cos(t) dt
    = 2 integral cos²(t)/sin(t) dt
    = 2 integral [1-sin(t)]/sin(t) dt
    = 2 integral [1/sin(t)]-[sin²(t)/sin(t)] dt
    = 2 integral [1/sin(t)]- sin(t) dt
    = 2 integral 1/sin(t) dt - integral sin(t) dt
    = 2[in[tan(t/2)]+ cos(t)]
    = 2in [tan(t/2)]+ 2cos(t) + C

    BalasHapus
  31. Bunga Zuhri Al Fidiyah M12 Mei 2020 pukul 15.21

    Jawaban 2d :
    In |(√x^2 + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C

    BalasHapus
  32. Yemina Basaria12 Mei 2020 pukul 16.06

    Pada materi ini dibagi dalam judul besar sub-bahasan yaitu :
    • Teknik integrasi rasionalisasi
    • instagral fungsi rasional yaitu pembagian dua fungsi polinomial
    • dekomposisi pecahan parsial yaitu merubah suatu fungsi rasional ~> menjumlahkan beberapa fungsi rasional
    • Dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x)/q(x)
    Jawaban soal
    1) integral x√(x+1) dx
    Solusi :
    Misal
    U= √(x+1)
    U^2 = x+1
    x = u^2-1
    Dx = 2u du
    Maka :
    Integral dari x√(x+1)dx
    =integral (u^2-1)u. 2u du
    =integral 2u^4-2u^2 du
    =2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
    =2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)^3 + C
    =2/5 (x+1)^5/2 - 2/3 (x+1)^3/2 + C

    BalasHapus
  33. Shofa Hanifah Bahril12 Mei 2020 pukul 19.05

    1.
    a) ∫x√(x+1)dx

    u = √(x+1), u^2= x+1
    x = u^2-1, dx = 2u du

    Jadi, ∫x√(x+1)dx =
    = ∫(u^2-1)(u) 2u du 
    = ∫(u^2-1)(2u^2) du
    = ∫(2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3(x+1)^3 + C
    = 2/5 (√(x+1))^(5/2) - 2/3 (√(x+1))^(3/2) + C

    BalasHapus
  34. Samudra rizqi12 Mei 2020 pukul 20.58

    1 a
    ∫x√(x+1) dx
    u=x+1^1/2
    u^2=x+1
    x=x^2-1
    dx+2udu

    ∫x√(x+1) dx
    =∫(u^2-1)(u)(2u)du
    =∫2u^4-2u^2 du
    =2/5u^5-2/3u^3 + C
    =2/5(x+1)^5/2-2/3(u+1)^3/2 + C

    BalasHapus
  35. Diah maya pradesta12 Mei 2020 pukul 21.02

    1 a).Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    3 b). ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    BalasHapus
  36. Vella Sagita Putri12 Mei 2020 pukul 21.07

    Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Contohnnya :
    3a. ∫2 / (x^2 + 3x) dx = 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C
    3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    BalasHapus
  37. Desiwati br marbun12 Mei 2020 pukul 22.45

    Fungsi rasional yaitu sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial.
    Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Latihan
    no.1
    b.) ∫x ∛(x + μ)
    Penyelesaian :
    Misalkan
    u = ∛(x + μ)
    x = u^3- μ
    3u^2=dx
    Sehingga :
    ∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
    = 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
    = 3 ∫(u^6-πu^3) du
    = 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
    =( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
    = 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)
    atau
    = 3/7 (x²+2μx+μ²)³√x+μ + 3/4 (x+μ)³√x+μ + C

    BalasHapus
  38. Chyntia Avantika12 Mei 2020 pukul 22.56

    Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  39. Nehemia Ruth Octavia Silvia Sianturi 12 Mei 2020 pukul 22.57

    Jawaban soal nomor 1 dan 2
    1. a) ∫ x √x+1 dx
    Misal :
    u = √x+1
    u^2 = x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du

    Maka :
    ∫ x √(x+1) dx
    = ∫ (u^2-1)(u)(2u) du
    = ∫ (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + C

    2. f) ∫ x / √4x-x^2 dx
    = ∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx

    Misal :
    u = x-2
    x = u+2

    Maka :
    ∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx
    = ∫ u+2 / √-u^2 + 4 du

    Lalu kita masukkan ke dalam substitusi trigonometri
    u = 2sin (v)
    Maka didapatkan.
    = ∫ 2(sin (v) + 1 ) dv
    = 2 . ∫ sin (v) + 1 dv
    = 2 . ∫ sin (v) dv + ∫ 1 dv
    = 2 (-cos (v) + v)

    Substitusi kembali, v = arcsin (1/2 u), u = x-2
    = 2 (-cos (arcsin (1/2 (x-2))) + arcsin (1/2 (x-2)))
    = - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1)
    = - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1) + C

    BalasHapus
  40. Chyntia Avantika12 Mei 2020 pukul 22.58

    Yang dijelaskan dari materi Integral Fungsi Rasional ini adalah teknik yang digunakan dalam integrasi rasional, salah satunya Dekomposisi Fungsi Pecahan. Dalam dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x) / q(x) terdapat 6 tahapan yang perlu diketahui dan dipahami. Fungsi Rasional merupakan pembagian dari 2 fungsi polinomial.

    BalasHapus
  41. Lola Azhari12 Mei 2020 pukul 23.23

    Jawaban soal no 1a
    Integral dari x√x+1 dx
    Misal :
    U= √x+1
    U²= x+1
    X= U²-1
    Dx= 2u du

    Maka :
    Integral dari x√(x+1) dx
    = integral (U²-1). (U) (2 du)
    = integral (2U^4 - 2U²) du
    = 2/5 U^5 - 2/3 U³ + C
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + C

    BalasHapus
    Balasan
    1. Nova Asmeri Dewi13 Mei 2020 pukul 00.16

      Jawaban 1b)
      1b).integral x³√x+π dx .
      *misal u = ³√x+π
      maka u³ = x+π
      x = u³-π
      dx = 3u² du
      ∫(u³-π)u 3u²du
      ∫(3u⁶-3πu³) du
      3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
      *substitusikan nilai u sehingga diperoleh:
      3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
      atau
      3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
      3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

      Hapus

Langganan: Posting Komentar (Atom)

Populer

  • Kemonotonan Fungsi
    Ringkasan: Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval t...
  • Sifat Urutan Bilangan Riil
    Ringkasan: Bersandar pada sifat lapangan bilangan riil, dapat ditemukan teorema-teorema yang berkaitan urutan bilangan riil. Ada beberapa...
  • Interpolasi Newton
    Interpolasi newton atau dikenal dengan interpolasi polinomial newton muncul untuk membuat prediksi nilai fungsi jika diberikan banyak data...
  • Integral Fungsi Rasional
    Fungsi rasional dapat diintegralkan dengan teknik tertentu. Diantara tekniknya adalah dekomposisi fungsi pecahan.