Ring

Suatu struktur aljabar dapat disusun dengan unsurnya sebuah himpunan dengan dua operasi. Menarik untuk dikaji karakteristik apakah yang dada pada struktur seperti ini.

Homomorfisma

Misalkan (G,*) dan (G',*') adalah grup maka dapat ditentukan sebuah fungsi yang memasangkan setiap anggota G ke G', yaitu f : G → G'. Dari fungsi ini dikaji apakah ada hubungan antara operasi pada grup G dan operasi pada grup G'. Jika kedua operasi memiliki hubungan maka perlu dikaji apakah fungsi tersebut merupakan homomorfisma.

Grup Faktor

Misalkan H adalah subgrup dari G, maka dapat disusun koset-koset kiri dari H. Koset-koset kiri ini dapat dihimpun dalam sebuah himpunan yang dinamakan himpunan koset kiri. Himpunan berisi himpunan ini memiliki karakteristik tertentu. Selanjutnya dipelajari apakah himpunan berisi himpunan ini merupakan grup.

Subgrup Normal

Misalkan G adalah grup dan H adalah subgrup dari G. Pada subgrup H dapat dibangun koset kiri dan koset kanan. Koset adalah himpunan yang dibangun oleh subgrup yang dioperasikan dengan g anggota grup G dari kiri maupun dari kanan. Jika koset dibangun dengan mengoperasikan subgrup dengan g anggota G dari kiri maka dinamakan koset kiri. Jika koset dibangun dengan mengoperasikan subgrup dengan g anggota G dari kanan maka dinamakan koset kanan.

Teorema Lagrange

Suatu Grup G mempunyai order yang dilambangkan dengan |G|. Order grup adalah banyak anggota grup. Suatu grup G dapat memiliki order berhingga atau tak berhingga. Dikatakan grup G  memiliki order berhingga jika banyak elemen grup G  dapat dihitung. Suatu subgrup H juga memiliki order yang dilambangkan dengan |H|.

Subgrup

Suatu himpunan G mungkin saja memiliki subset H. Suatu subset H dikatakan sebagai subgrup jika G adalah grup dan pada subset H berlaku 4 aksioma grup dengan operasi yang sama dengan G.

Grup Siklik

Suatu grup yang memiliki anggota g yang membangun grup tersebut dinamakan grup siklik.

Grup Permutasi

Misalkan A himpunan berhingga maka permutasi pada himpunan A adalah banyaknya fungsi bijektif dari A ke A. Himpunan permutasi dari himpunan A disertai operasi komposisi fungsi membentuk suatu grup. Grup seperti ini dinamakan grup permutasi.

Grup Modulo

Grup modulo adalah grup yang dibangun oleh sebuah himpunan sisa pembagian modulo n. Himpunan sisa pembagian modulo n adalah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan 0 sampai n-1. Misalnya himpunan sisa pembagian modulo 3 adalah {0,1,2}.

Grup & Teorinya

Suatu struktur aljabar selalu mengandung himpunan dan operasi. Berdasarkan sifat tertutup, sifat assosiatif, unsur identitas, dan sifat invers, suatu struktur aljabar dibedakan menjadi grup, monoid, semi grup, dan grupoid.

Rencana Pembelajaran

Dalam pembahasan himpunan beserta operasi matematis, ditemukan bentuk struktur yang unik. Struktur-struktur itu mempunyai ciri-ciri tertentu sehingga dapat dikelompokkan. Pembahasan mengenai struktur-struktur ini melahirkan konsep struktur aljabar, grupoid, monoid, semi grup, dan grup.