Integrasi suatu fungsi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Proses integrasi kadang kala menghasilkan fungsi non-elementer.
Metode Substitusi
Misalkan g adalah fungsi diferensiabel dan F adalah anti-turunan dari f, maka jika u = g(x).
Integral Parsial
Jika integral dengan substitusi tidak dapat dilakukan, maka coba lakukan integral double substitusi.
Integral double substitusi disebut juga integral parsial. Metode integral ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Jika du = u'(x) dx dan dv=v'(x) dx, maka dapat dituliskan integral parsial
Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF
Materi Sebelumnya : Fungsi Hiperbolik
Materi Selanjutnya :
Metode Substitusi
Misalkan g adalah fungsi diferensiabel dan F adalah anti-turunan dari f, maka jika u = g(x).
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(u)+C = F(g(x)) +C
Jika integral dengan substitusi tidak dapat dilakukan, maka coba lakukan integral double substitusi.
Integral double substitusi disebut juga integral parsial. Metode integral ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Jika du = u'(x) dx dan dv=v'(x) dx, maka dapat dituliskan integral parsial
∫ u(x) dv = u(x) v(x) - ∫ v(x) du
Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF
Materi Sebelumnya : Fungsi Hiperbolik
Materi Selanjutnya :
1. a. 1/6(×-2)⁶ +c
BalasHapusTeknik integrasi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu dengan teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam materi teknik integrasi juga terdapat integral parsial yang disebut juga teknik doble substitusi dan metode ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi
BalasHapusYang dapat saya simpulkan dari materi ini adalah Teknik Integrasi
BalasHapusIntegrasi suatu fungsi dapat dilakukan dengan dua teknik yaitu teknik substitusi dan teknik dobel substitusi.Materi teknik integrasi terdapat beberapa sub materi yaitu:Metode Substitusi;fungsi element;Integral Parsial;substitusi integral tentu dan tak tak tentu.
1. A)Integral (x+2)^5 dx
BalasHapusMisal u= x+2
du=dx
Integral u^5=1/6 u^6 +c
=1/6(x+2)^6+c
1. B). 1/12 (x^2+1)^6 +C
BalasHapus1 c. Integral e^x/2+e^xdx = integral 1/t
BalasHapus= in (|t|)
= in(| 2+e^x |)
= in (2+e^x)
= in (2+e^x) +C
hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, bisa jadi berupa anti turunan sedangkan bentuk-benuk fungsi elementer sendiri antara lain adalah:
BalasHapusFungsi Kosntan
Fungsi Pangkat
Fungsi Aljabar
Fungsi Logaritma
Fungsi Eksponensial
Fungsi Trigonometri
Fungsi Invers Trigonometri
dan Semua Fungsi yang diperoleh dari fungsi-fungsi tersebut dengan
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi.
Dalam materi teknik integrasi terdapat 2 teknik penyelesaian yaitu substitusi integral dan integral parsial yng masing-masing nya dapat menyelesaiakan integral tentu maupun tak tentu.
BalasHapus1. c) ∫ e×/2+e× dx
BalasHapusSolusi
Misal :
u = 2+e×
du = e× dx
du/e× = dx
dx = du/e×
∫e×/2+e× dx
= ∫e×/u . du/e×
= ∫du/u
= ln |u| + C
= ln |2+e×| + C
= ln (2+e×) + C
Pada materi Minggu ini yang berjudul teknik integrasi, dapat di ringkas bahwa fungsi elementer ada 7 macam fungsi, yaitu : fungsi konstan, logaritma, trigonometri, invers trigonometri, pangkat, eksponensial, dan aljabar.
BalasHapusHasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer.
Ada 2 prinsip integrasi, yaitu : substitusi dan integral parsial
Dimana substitusi ada yang substitusi integral tak tentu dan integral tentu.
Dan integral parsial adalah metode yang berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Integral parsial juga ada integral parsial tak tentu dan integral parsial tentu.
a) u=x-2
BalasHapusdu = dx
Int u^5dx= 1/5 u^4
= 1/5 (x-2)^4
b) u = x^2 + 1
du = 2x dx
xdx = 1/2 du
Int x(x-2)^5 dx = 1/2 Int u^5 du
= 1/2 ( 1/4(u)^4)
= 1/8 (x-2)^4
Memahami dan menerapkan teknik-teknik pengintegralan, yaitu substitusi dan pengintegralan parsial dalam menentukan nilai integral.
BalasHapus2. a) ∫xe^x dx
BalasHapusMisal
u = x --> du = dx
dv = e^x dx --> v = e^x
Sehingga
∫ xe^x dx = uv-∫ v du = xe^x-∫e^x dx = xe^x-e^x + c = e^x (x-1) + c
2. b -x/2 cos 2x + 1/4 sin 2x + c
BalasHapusJawaban Soal no. 1 e
BalasHapus1e. ∫5/√(2x-1) dx
Misal
u = 2x-1
du/dx = 2
du = 2 dx
1/2 du = dx
∫∫5/√(2x-1) dx
= ∫5/√(2x-1) ×1/2 du
= ∫5/(2√(2x-1)) du Substitusikan 2x-1 dengan u
=∫5/(2√u) du
= 5/2 ∫1/√u du
= 5/2 × 2√u + C
=5/2 × 2√(2x-1) + C
= 5√(2x-1) + C
1.b. Integral x(x^2+1)^5dx
BalasHapusPenyelesaian:
Misal
U= x^2+1
du= 2x dx
Integral x(x^2+1)^5 dx
=Integral (1/2x)(x)(u)^5 du
=Integral 1/2 (u)^5 du
= 1/12 u^6 + c
= 1/12 (x^2+1)^6 + c
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusPada materi saat ini yaitu teknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 cara :teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam prosesnya kadang menghasilkan fungsi non-elementer.
BalasHapusMaksud fungsi elementer yaitu fungsi konstan, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi pangkat, fungsi aljabar, fungsi eksponensial, fungsi invers trigonometri.
Substitusi integral tentu = substitusi integral tak tentu dengan mengganti batas integral.
1) g.∫cosh 3x dx
BalasHapusJawab :
Misalkan : u = 3x du = 3 dx
Sehingga :
∫cosh 3x dx =1/3 ∫cosh u du
= 1/3 sinh u+ C
= 1/3 sinh 3x+ C
3a)●misal:u=x^2 du=2xdx
BalasHapusdv=(e^x)dx v=e^x
∫ (x^2)(e^2)dx=uv-∫ vdu
=(x^2)(e^x)-∫( e^x)(2x)dx
●Misal:u=2x du=2dx
dv=(e^x)dx v=e^x
=(x^2)(e^x)-∫( e^x)(2x)dx
=(x^2)(e^x)-[uv-∫vdu]
=(x^2)(e^x)-[(2x)(e^x)-∫2e^xdx]
=(x^2)(e^x)-[(2x)(e^x)-2e^x+c]
=(x^2)(e^x)-(2x)(e^x)+2e^x+c
1)c. Integral e^x/2+e^xdx = integral 1/t
BalasHapus= in (|t|)
= in(| 2+e^x |)
= in (2+e^x)
= in (2+e^x) +C
Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, maka
BalasHapusdimungkinkan menggunakan substitusi ganda atau yang
dikenal dengan integral parsial.
Dalam Pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik subtitusi, ada bentuk lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan.
BalasHapus2 c. Int x^3 in x DX
BalasHapusU =in x
Du = 3x^2 dx
V= 6x
In x.3x^2- integral 6x.3x^2
In x.3x^2-int 18x^3
In x.3x^2- 9/2 x^4+c
Dari materi minggu ini membahas mengenai 7 Fungsi Elementer, namun hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, contohnya anti turunan dari e^(-x^2 ) . Selain itu terdapat juga penjelasan 2 prinsip integrasi,yaitu substitusi dan intergal persial.
BalasHapusNomor 2.b
BalasHapus∫ x sin 2x dx
misal
u = x -> du = 1 dx
dv = sin2x -> v = (-1/2)cos2x
∫ udv
= uv - ∫vdu
= x(-1/2)cos2x - ∫ (-1/2)cos2x dx
= (-x/2)cos2x + (1/4)sin2x +C
= (1/4)(sin2x - 2x cos2x) +C
1. a) ∫(x-2)^(5) dx = 1/6(x-2)^(6)+C
BalasHapusBaiklah saya akan menjawab soal 3d
BalasHapus∫x² sin x dx =
Misal u = x² maka du = 2x dx dan dv = sin x maka v = -cos x
= ∫x² Sin x dx
= x².-cos x - ∫-cos x. 2x dx
= -x² cos x + ∫ cos x. 2x dx
Misal u = 2x maka du = 2 dx dan dv = cos x maka v = sin x
= -x² cos x + ∫ cos x. 2x dx
= -x² cos x + (2x Sin x - ∫ Sin x 2 dx)
= -x² cos x + 2x Sin x - 2(-cos x + C)
= -x² cos x + 2x Sin x + 2 cos x + C
2. c) ∫ x^3 ln x dx
BalasHapus∫ ln(x).x^3
u = ln x
dv = x^3 dx
du = 1/x
v = (x^4)/4
= uv - ∫ v du
= [ln x . (x^4)/x] - [ ∫(x^4)/x.(1/x)]
= ln x . (x^4)/4 - ∫ (x^3)/4 dx
= ln x . (x^4)/4 - 1/4 ∫ (x^3)/4 dx
= ln x . (x^4)/4 - 1/4 . (x^4)/4 + C
= (ln x . x^4)/4 - (1/4 . (x^4)/4) + C
= (ln x . x^4)/4 - (x^4)/16 + C
1. e. 5 √(2x-1) + C
BalasHapusHasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer, contohnya anti
BalasHapusturunan dari e^-x^2.
Dan ada 2 prinsip integrasi,yaitu : substitusi dan integral parsial.
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakhatuh, maaf sebelumnya. Contoh penyelesaian Di slide no 8 itu, kok di solusi tiba tiba ad akar ya pak? padahal disoal tidak ada.
BalasHapus1f. int e^cos(x) . sin (x) dx
BalasHapussubtitusikan pertidaksamaan dengan dx=1/t dt
dimana t= cos x, sehingga t=-sin t
=int e^cos(x) . sin (x) . -1/sin x dt
=int -e^cos(x)
= -e^cos(x) + c
2a. gunakan integral parsial
int. xe^x dx
maka : uv- int.v du
=xe^x - int.e^x dx
=xe^x - e^x + C
Teknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 teknik :
BalasHapus1.teknik substitusi
2.teknik dobel substitusi.
Dalam materi teknik integrasi juga terdapat teknik doble substitusi dan metode ini dibangun berdasarkan rumus turunan dari perkalian dua funsi.
Latihan
No.1
A. ∫(x-2)^(5) dx
Jawaban: 1/6(x-2)^(6)+C
Dalam Pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik subtitusi, ada bentuk lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan pada teknik yang sebelumnya tidak dapat digunakan.
BalasHapus2. . c) ∫ x ^ 3 ln x dx
∫ ln (x) .x ^ 3
u = ln x
dv = x ^ 3 dx
du = 1 / x
v = (x ^ 4) / 4
= uv - ∫ v du
= [ln x. (x ^ 4) / x] - [∫ (x ^ 4) / x. (1 / x)]
= ln x. (x ^ 4) / 4 - ∫ (x ^ 3) / 4 dx
= ln x. (x ^ 4) / 4 - 1/4 ∫ (x ^ 3) / 4 dx
= ln x. (x ^ 4) / 4 - 1/4. (x ^ 4) / 4 + C
= (ln x. x ^ 4) / 4 - (1/4. (x ^ 4) / 4) + C
= (ln x. x ^ 4) / 4 - (x ^ 4) / 16 + C
Dalam materi Teknik Integrasi ini, Hasil dari integrasi tidak selalu merupakan fungsi elementer. Contohnya anti turunan dari e^x²
BalasHapusBerikut dua prinsip integrasi yaitu substitusi dan integral parsial.
Saya akan menjawab soal no 1 bagian a dan b. Untuk soal no 1a.∫(x-2)⁵dx. Kita misalkan bahwa u = x-2 dan du = dx, maka ∫u⁵du. Kita selesaikan menjadi 1/6 u^6 + C. Kita substitusikan u = x-2, maka hasilnya menjadi 1/6 (x-2)^6 + C
BalasHapusUntuk soal 1b. ∫x(x²+1)⁵ dx. Kita misalkan bahwa u= x²+1, dan ½du = x dx. Maka ∫u⁵½du. Kita selesaikan menjadi 1/12 u^6 + C. Kita substitusikan u= x²+1, maka hasilnya menjadi 1/12 (x²+1)^6 + C
Teknik integrasi
BalasHapusTeknik integrasi dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu:teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Dalam prosesnya kadang menghasilkan fungsi non-elementer.
Maksud fungsi elementer yaitu fungsi konstan, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi pangkat, fungsi aljabar, fungsi eksponensial, fungsi invers trigonometri.
Substitusi integral tentu substitusi integral tak tentu dengan mengganti batas integral.
BalasHapus1. c) ∫ e×/2+e× dx
Misal
u = 2+e×
du = e× dx
du/e× = dx
dx = du/e×
∫e×/2+e× dx
= ∫e×/u . du/e×
= ∫du/u
= ln |u| + C
= ln |2+e×| + C
= ln (2+e×) + C
Reply
Link kuis
BalasHapushttps://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScIIu589c1EwtKbizGNMiz2XCMxidWamdc57eUp5FXxS_0LWg/viewform