Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional dapat diintegralkan dengan teknik tertentu. Diantara tekniknya adalah dekomposisi fungsi pecahan.



Fungsi Rasional
Dalam matematika, sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial. Misalnya

f(x) = p(x)/q(x) 

Dekomposisi Fungsi Pecahan
Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Misalnya f(x)= (5x-1)/(x2 -1) dirubah menjadi f(x) =2/(x-1) + 3/(x+1)

Tahapan Dekomposisi Pecahan
  1. Jika f (x) improper (bukan fungsi rasional sebenarnya) maka p(x) dibagi dengan q(x) sehingga f(x) =M(x) + N(x)/D(x)
  2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terreduksi.
  3. Setiap faktor berbentuk (ax + b)k buat dekomposisi A1/(ax + b)+ A2/(ax + b)2+ . . . + Ak/(ax + b)
  4. Setiap faktor berbentuk (ax2 + bx + c)m buat dekomposisi (B1x+C1)/  (ax2 + bx + c) + (B2x+C2)/  (ax2 + bx + c)2  + . . . + (Bmx+Cm)/  (ax2 + bx + c)m
  5. Atur bentuk N(x)/D(x) sama dengan penjumlahan semua suku yang ditemukan pada langkah 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
  6. Kalikan kedua sisi persamaan yang ditemukan pada tahap 5 dengan penyebut D(x) sehingga terbentuk persamaan baru, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

Materi lengkap dapat didownload di bawah ini.
Download PDF

Materi Sebelumnya : Teknik Integrasi
Materi Selanjutnya  : 

43 comments:

  1. Dalam materi ini dapat disimpulkan bahwa materi Integral Fungsi Rasional memiliki beberapa sub materi yaitu teknik integrasi rasionalisasi;segitiga siku-siku bantuan;integral fungsi rasional;dekomposisi pecahan parsial;dekomposisi fungsi rasional dan lainnya.

    ReplyDelete
  2. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  3. 1. a) ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1  --> x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du  
                 = ∫ 2u⁴-2u² du
                 = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
                 = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
                 = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c


    ReplyDelete
  4. 1b) ∫x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    ReplyDelete
  5. 1. c)∫x/√3x+4 dx
    Misal
    u= (3x+4)½
    u²= 3x+4
    x= u²-4/x
    dx= 2/3 u du

    ∫x/√3x+4 = ∫(u²-4)/u (2/3u du)
    = 2/3 ∫1/3(u²-4) du
    = 2/9 (1/3 u³-4u)
    = 2/27 u³- 8/9 u + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 - 8/9 (3x-4)^1/2 + C

    ReplyDelete
  6. 1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    ReplyDelete
  7. 1. a) Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    ReplyDelete
  8. 3a. ∫2 dx / (x^2 + 3x)
    Maka : 2/ (x^2 – 3x ) = A/x – B/x+3
    = (A+B)x + 3A / (x^2 +3x)
    3A=2, maka A = 2/3, subtitusi nilai A . sehingga B= -2/3
    mkaa
    ∫2 dx / (x^2 + 3x) = ∫ [ (2/3) / x – (2/3) / (x+3) dx ]
    = 2/3 ∫ [1/x] dx – 2/3 ∫ [1/(x+3) ] dx
    = 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C

    3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    ReplyDelete
  9. 1.a. ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
    = ∫ 2u⁴-2u² du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
    = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    ReplyDelete
  10. 1. b.) ∫x ∛(x + μ)
    Penyelesaian :
    Misalkan u = ∛(x + μ)
    u^3 = x + μ, x = u^3- μ
    3u^2=dx
    Sehingga :
    ∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
    = 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
    = 3 ∫(u^6-πu^3) du
    = 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
    =( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
    = 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)

    ReplyDelete
  11. 1.a. ∫x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    x = u²-1
    du = 1/2 (x+1)^-½ dx
    dx = 2 du √x+1 = 2u du

    ∫x √(x+1) dx = ∫ (u²-1).u 2u du
    = ∫ 2u⁴-2u² du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u³ + c
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + c
    = 2/5 (x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    1b) ∫x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    ReplyDelete
  12. Saya akan menjawab nomor 2d).
    ∫dx/(√x² + 2x + 5)
    Jawab
    √x² + 2x + 5 dapat dirubah menjadi √(x + 1)² + 4
    Kemudian:
    Misal u= x + 1 maka du= dx
    Menjadi ∫du/√u² + 4
    Integral melibatkan bentuk √a² + x² maka substitusi dengan:
    U= 2 tan t, -π/2<=t<=π/2
    du= 2sec² t dt dan √u² + 4
    = √4tan² t + 4
    = √4sec² t = 2sec t
    Sehingga:
    ∫du/(u² + 4)
    = ∫2sec² t/(2sec t) dt
    = In |(1 + sin t)/cos t| + C
    = In |sec t + tan t| + C
    = In |(√u² + 4) /2 + u/2| + C
    = In |(√u² + 4) + u| - In 2 + C
    = In |(√x² + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C

    ReplyDelete
  13. Dalam materi integral fungsi rasional ini, pembahasan di bagi atas beberapa point penting yaitu antara lain. Teknik integrasi rasionalisasi, segitiga siku siku bantuan, integral fungsi rasional, dekomposisi pecahan parsial, demoposisi pecahan rasional dan beberapa contoh-contoh yang dapat dipelajari dan dipahami.

    ReplyDelete
  14. Nomor 3.c
    ∫ (3x+2)/(x³+3x²+3x+1) dx
    ∫ (3x+2)/(x+1)³ dx

    Bentuk tersebut dapat diubah menjadi
    (3x+2)/(x+1)³ = A/(x+1) + B/(x+1)² + C/(x+1)³

    (3x+2)/(x+1)³ = [A(x+1)²+B(x+1)+C]/(x+1)³

    (3x+2)/(x+1)³ = [(A)x²+(2A+B)x+(A+B+C)]/(x+1)³

    Diperoleh
    A = 0
    2A+B = 3 -> B = 3
    A+B+C = 2 -> C = -1

    sehingga
    (3x+2)/(x+1)³ = 0/(x+1) + 3/(x+1)² - 1/(x+1)³
    (3x+2)/(x+1)³ = 3/(x+1)² - 1/(x+1)³

    Maka
    ∫ (3x+2)/(x+1)³ dx
    = ∫ [3/(x+1)² - 1/(x+1)³] dx
    = 3 ∫ 1/(x+1)² dx - ∫ 1/(x+1)³ dx

    Misalin u = x+1 dan du = dx
    Menjadi

    = 3 ∫1/u² du - ∫ 1/u³ du
    = 3 ∫u⁻² du - ∫u⁻³ du
    = 3 ( - u⁻¹ ) - (-u⁻²/2) +C
    = -3/u + 1/2u² + C

    Kembalikan u = x+1
    = -3/(x+1) + 1/2(x+1)² +C
    = [-6(x+1)+1]/[2(x+1)²] +C
    = (-6x-5)/2(x+1)² +C
    = - [6x+5]/[2(x+1)²] +C

    ReplyDelete
  15. 1 a).Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    1b).integral x³√x+π dx .
    Kita misalkan u = ³√x+π
    maka u³ = x+π
    x = u³-π
    dx = 3u² du
    ∫(u³-π)u 3u²du
    ∫(3u⁶-3πu³) du
    3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
    Kita substitusikan nilai u menjadi
    3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
    atau
    3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
    3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

    ReplyDelete
  16. 2. f. - √4x-x² + 2 sin^-1 (x-2/2) + c

    ReplyDelete
  17. Saya akan mencoba sedikit meringkas materi Teknik integrasi rasional
    -Jika n√(ax+b), maka substitusi u = n√(ax+b) akan menghilangkan akar.
    -Definisi : fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial
    -Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional
    -Tahapan dekomposisi
    1. f(x) = M(x) + N(x)/D(x)
    2. Faktorkan D(x) menjadi perkalian faktor linier dan kuadrat tak terprediksi
    3. Buat dekomposisi A1/(ax+b) + A2/(ax+b)^2 +...+ Ak/(ax+b)^k
    4. Faktor berbentuk ax^2+bx+c buat dekomposisi (B1x+C1)/(ax^2+bx+c) + (B1x+C1)/(ax^2+bx+c)^2 +...+ (Bmx+Cm)/(ax^2+bx+c)^m
    5. Atur N(x)/D(x) sama dengan tahap 3 dan 4. Jumlah konstanta yang ditentukan harus sama dengan derajat polinomial penyebut D(x)
    6. Kalikan kedua sisi, sesuaikan solusi untuk setiap konstanta yang dicari dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

    ReplyDelete
  18. Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari bab dekomposisi pecahan persial
    Dekomposisi pecahan persial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Dekomposisi pecahan persial f(x) = p(x) /q(x)
    a. Jika f(x) improper maka p(x) dibagi q(x)
    f(x) = M(x) + N(x) /D(x)
    b. Faktorkan D(x) perkalian faktor linear dan kuadrat tak terreduksi
    c. Setiap faktor berbentuk (ax+b)^k dikomposisikan
    A1/(ax+b) + A2/(ax+b)² +.... + Ak/(ax+b)^k
    d. Setia faktor berbentuk ax²+bx+c)^m dikomposisikan
    B1x+C1/(ax²+bx+c) + B2x+C2/(ax²+bx+c)² +.... + Bmx+Cm/(ax²+bx+c)^m

    ReplyDelete
  19. 1c. ∫ x √(3x+4)^-1 dx
    Misalkan : u= √(3x+4)
    Maka U^2=3x+4,
    (u^2 – 4)/3 =x
    2u/3 du = dx
    Maka:
    ∫ x √(3x+4)^-1 dx= ∫((u^2 – 4)/3 ) (u^-1) (2u/3 du)
    = ∫((u^2 – 4)/3 ) (2/3 du)
    = 2/9 ∫u^2 – 4 du
    = 2/9 [1/3 u^3 – 4u] + C
    = 2/27 (3x+4)^3/2 – 8/9 (3x+4)^1/2 + C

    ReplyDelete
  20. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakhatuh
    3.a ln[(x+3)²x³/e²]+c

    Dalam penyelesaian soal ini, langkah yang dapat ditempuh pertama dengan memecah pecanhan parsial. Kemudian di lanjutkan dengan subtitusi, selanjutnya dilakukan penyederhanaan hasil. Untuk praktis nya,m t teman dapat mencari sendiri. Terimakasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. Intinya, integral tidak hanya dapat dilakukan dengan integral patial dan subtitusi, melainkan dapat diselesaikan dengan sederhana melalui manipulasi aljabar. Walaupun terkadang langkah yang di peroleh cukup panjang.

      Delete
  21. Dalam teknik pengintegralannya, fungsi rasional dibagi menjadi 2 bagian yaitu:
    Derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebutDerajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebutPembilang merupakan turunan dari penyebutFaktor Linier yang Berbeda pada PenyebutFaktor Linier yang berulangFaktor Linier Berbeda dan Ada yang berulangPenyebut mengandung faktor kuadrat tunggalPenyebut mengandung faktor kuadrat berulang.

    ReplyDelete
  22. 3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    ReplyDelete
  23. Dalam fungsi rasional dapat di integralkan dengan teknik tertentu yang diantaranya adalah teknik dekomposisi fungsi pecahan
    Fungsi rasional disebut juga dengan pembagian dua fungsi polinomial.
    Didalam fungsi rasional terdapat juga dekomposisi pecahan dimana dekomposisi pecahan tersebut mempunyai 8 tahapan

    ReplyDelete
  24. 1.A)Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    ReplyDelete
  25. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  26. Definisi
    Fungsi Rasional adalah Pembagian dua fungsi Polinomial.
    Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Jawaban
    1b)∫x^(3)√(x+ π) dx
    Solusi
    Misal
    u = x + π
    du/dx = 1
    du = dx
    ∫x^(3)√(x+ π) dx
    = ∫x^(3)√(x+ π) du Substitusikan X dengan u-π
    = ∫(u-π)∛(x+π) du Substitusikan x + π dengan u
    = ∫(u-π)∛u du
    = ∫(∛u - ∫π∛u du
    = ∫u u^(1⁄3) - ∫π u^(1⁄3) du
    = ∫u^(4⁄3) du - ∫π u^(1⁄3) du
    =(3u^(2)∛u)/7 - (3πu∛u)/4 + C Substitusikan u dengan x+π
    =(3(x+π)^(2)∛(x+π))/7 - (3 π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
    =(3∛(x+π)(x^2+2πx+π^2))/7 - (3π ×(x+π)∛(x+π))/4 + C
    2a) ∫√(4-x^2)/x dx
    Solusi
    Integrand melibatkan bentuk akar √(x^(2)-a^2) maka substitusi dengan x = 2 sin t , -π/2 ≤ t ≤ π/2
    x = 2 sin t
    dx/dt = 2 cos t
    dx = 2 cos t dt
    √(4-x^2) = √(4-4sin⁡(t)^2) = √(4 (1-sin⁡(t)^2) = √(4cos⁡(t)^2) = 2 cos t
    ∫√(4-x^2)/x dx
    = ∫(2 cos ⁡t)/(2 sin ⁡t) (2 cos t)dt
    = 2×2 ∫coth⁡(t) cos (t) dt
    = 2×2 ∫cos⁡ t/sin⁡ t cos(t) dt
    = 4 ∫cos(t)^2/sin⁡t dt
    = 4 ∫1-sin(t)^2/sin⁡ t dt
    = 4 (∫1/sin⁡(t) dt- ∫sin⁡(t) dt)
    = 4 In|(tan(t/2))| + 4 cos(t) + C

    ReplyDelete
  27. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  28. 1c.∫x/√3x+4dx
    ●misal:
     u=√3x+4
    U^2=3x+4
    3x=(u^2)-4
    X=(u^2)-4/3
    x=1/3 ((u^2)-4)
    dx/du=1/3 2u
    Dx=2/3 u du
    ∫x/√3x+4dx=(1/3(u^2)-4 × 1/3 2u du)/u
    =2/9 ∫(u^2)-4 du
    =2/9 [1/3(u^3)-4u]+c
    2/27(u^3)-8/9u+c
    =2/27 ((3x+4)^3/2)-8/9 (3x+4)+c

    ReplyDelete
  29. Dari materi ini dapat diambil kesimpulan bahwasannya Dekomposisi merupakan salah satu cara sederhana untuk menyelesaikan masalah pengintegralan fungsi rasional. Karena dalam dekomposisi, kita menguraikan suatu bentuk fungsi rasional menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan parsial.

    ReplyDelete
  30. 2.a integral √(4-x²)/x dx
    Jawab:
    √(4-x²)=√(2²-x²)
    = 2 cos(t)

    x = 2sin(t)
    dx = 2cos(t) dt
    Penyelesaian:
    Integral √(4-x²)/x dx = integral [2cos(t)/2sin(t)]× 2cos(t) dt
    = (2/2)×2 integral [cos(t)/sin(t)]× cos(t) dt
    = 2 integral cos²(t)/sin(t) dt
    = 2 integral [1-sin(t)]/sin(t) dt
    = 2 integral [1/sin(t)]-[sin²(t)/sin(t)] dt
    = 2 integral [1/sin(t)]- sin(t) dt
    = 2 integral 1/sin(t) dt - integral sin(t) dt
    = 2[in[tan(t/2)]+ cos(t)]
    = 2in [tan(t/2)]+ 2cos(t) + C

    ReplyDelete
  31. Jawaban 2d :
    In |(√x^2 + 2x + 5) + x + 1| - In 2 + C

    ReplyDelete
  32. Pada materi ini dibagi dalam judul besar sub-bahasan yaitu :
    • Teknik integrasi rasionalisasi
    • instagral fungsi rasional yaitu pembagian dua fungsi polinomial
    • dekomposisi pecahan parsial yaitu merubah suatu fungsi rasional ~> menjumlahkan beberapa fungsi rasional
    • Dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x)/q(x)
    Jawaban soal
    1) integral x√(x+1) dx
    Solusi :
    Misal
    U= √(x+1)
    U^2 = x+1
    x = u^2-1
    Dx = 2u du
    Maka :
    Integral dari x√(x+1)dx
    =integral (u^2-1)u. 2u du
    =integral 2u^4-2u^2 du
    =2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
    =2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)^3 + C
    =2/5 (x+1)^5/2 - 2/3 (x+1)^3/2 + C

    ReplyDelete
  33. 1.
    a) ∫x√(x+1)dx

    u = √(x+1), u^2= x+1
    x = u^2-1, dx = 2u du

    Jadi, ∫x√(x+1)dx =
    = ∫(u^2-1)(u) 2u du 
    = ∫(u^2-1)(2u^2) du
    = ∫(2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3(x+1)^3 + C
    = 2/5 (√(x+1))^(5/2) - 2/3 (√(x+1))^(3/2) + C

    ReplyDelete
  34. 1 a
    ∫x√(x+1) dx
    u=x+1^1/2
    u^2=x+1
    x=x^2-1
    dx+2udu

    ∫x√(x+1) dx
    =∫(u^2-1)(u)(2u)du
    =∫2u^4-2u^2 du
    =2/5u^5-2/3u^3 + C
    =2/5(x+1)^5/2-2/3(u+1)^3/2 + C

    ReplyDelete
  35. 1 a).Integral x√(x+1) dx
    misal :
    u = √x+1
    u^2= x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du
    Maka:
    Integral x √(x+1) dx
    =Integral (u^2-1)(u)(2u) du
    =Integral (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + c
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + c

    3 b). ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx
    Sehingga :
    (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) = (A/ x) + [ B/(x+1)] + [C/(x-2)]
    Maka : (2x^2 + x – 4) = A (x+1)(x-2) + Bx (x-2) + Cx (x+1)
    Subtitusi nilai x=0, x= 1 dan x=(-2),
    Sehingga menghasilkan : A=2, B=(-1), C=1
    Maka:
    ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) =∫ [(2/ x) + [ -1/(x+1)] + [1/(x-2)] ] dx
    = ∫ 2/x dx - ∫ 1/ (x+1) dx + ∫ 1/(x-2) dx
    = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    ReplyDelete
  36. Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional. Contohnnya :
    3a. ∫2 / (x^2 + 3x) dx = 2/3 in (|x|) - 2/3 in (|x+3|) +C
    3b. ∫ (2x^2 + x – 4) / (x^3−x^2−2x) dx = 2 in (|x|)- in (|x+1|) + in (|x-2|) +C

    ReplyDelete
  37. Fungsi rasional yaitu sebuah fungsi yang disebut sebagai fungsi rasional adalah pembagian dua fungsi polinomial.
    Dekomposisi pecahan parsial adalah merubah suatu fungsi rasional menjadi penjumlahan beberapa fungsi rasional.
    Latihan
    no.1
    b.) ∫x ∛(x + μ)
    Penyelesaian :
    Misalkan
    u = ∛(x + μ)
    x = u^3- μ
    3u^2=dx
    Sehingga :
    ∫x ∛(x + μ) = ∫(u^3-π)u (3u^2 du)
    = 3 ∫(u^4-πu)(u^2 du)
    = 3 ∫(u^6-πu^3) du
    = 3[(u^7)/7-(πu^4)/4] + C
    =( 3/7 u^7 )-(3πu^4)/4)
    = 3/7(x + μ)^(7/3) -3/4 π(x + μ)^(4/3)
    atau
    = 3/7 (x²+2μx+μ²)³√x+μ + 3/4 (x+μ)³√x+μ + C

    ReplyDelete
  38. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  39. Jawaban soal nomor 1 dan 2
    1. a) ∫ x √x+1 dx
    Misal :
    u = √x+1
    u^2 = x+1
    x = u^2-1
    dx = 2u du

    Maka :
    ∫ x √(x+1) dx
    = ∫ (u^2-1)(u)(2u) du
    = ∫ (2u^4-2u^2) du
    = 2/5 u^5 - 2/3 u^3 + C
    = 2/5(x+1)^5/2 - 2/3(x+1)^3/2 + C

    2. f) ∫ x / √4x-x^2 dx
    = ∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx

    Misal :
    u = x-2
    x = u+2

    Maka :
    ∫ x / √-(x-2)^2 + 4 dx
    = ∫ u+2 / √-u^2 + 4 du

    Lalu kita masukkan ke dalam substitusi trigonometri
    u = 2sin (v)
    Maka didapatkan.
    = ∫ 2(sin (v) + 1 ) dv
    = 2 . ∫ sin (v) + 1 dv
    = 2 . ∫ sin (v) dv + ∫ 1 dv
    = 2 (-cos (v) + v)

    Substitusi kembali, v = arcsin (1/2 u), u = x-2
    = 2 (-cos (arcsin (1/2 (x-2))) + arcsin (1/2 (x-2)))
    = - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1)
    = - √-x^2 + 4x + 2 arcsin (1/2 x - 1) + C

    ReplyDelete
  40. Yang dijelaskan dari materi Integral Fungsi Rasional ini adalah teknik yang digunakan dalam integrasi rasional, salah satunya Dekomposisi Fungsi Pecahan. Dalam dekomposisi fungsi rasional f(x) = p(x) / q(x) terdapat 6 tahapan yang perlu diketahui dan dipahami. Fungsi Rasional merupakan pembagian dari 2 fungsi polinomial.

    ReplyDelete
  41. Jawaban soal no 1a
    Integral dari x√x+1 dx
    Misal :
    U= √x+1
    U²= x+1
    X= U²-1
    Dx= 2u du

    Maka :
    Integral dari x√(x+1) dx
    = integral (U²-1). (U) (2 du)
    = integral (2U^4 - 2U²) du
    = 2/5 U^5 - 2/3 U³ + C
    = 2/5 (√x+1)^5 - 2/3 (√x+1)³ + C

    ReplyDelete
    Replies
    1. Jawaban 1b)
      1b).integral x³√x+π dx .
      *misal u = ³√x+π
      maka u³ = x+π
      x = u³-π
      dx = 3u² du
      ∫(u³-π)u 3u²du
      ∫(3u⁶-3πu³) du
      3/7 u⁷ - 3/4 πu⁴ + C
      *substitusikan nilai u sehingga diperoleh:
      3/7 (³√x+π)⁷ + 3/4 (³√x+π)⁴ + C
      atau
      3/7 (x+π)² ³√x+π + 3/4 (x+π) ³√x+π + C
      3/7 (x²+2πx+π²)³√x+π + 3/4 (x+π)³√x+π + C

      Delete