Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

Ringkasan:
Bilangan kompleks selain dinyatakan dalam bentuk a+bi, dapat dinyatakan dalam bentuk (a,b).  Sebagaimana pada bilangan riil, titik (a,b) pada bilangan kompleks juga dapat dapat dinyatakan dalam bentuk kutub.



Bilangan Kompleks dalam bentuk Kutub

Pada bilangan riil, titik (a,b) dapat ditulis dalam bentuk kutub menjadi (r,θ) dengan 

r =  a2 + b2
 θ= tan (y/x)

Jika titik (a,b) merrupakan bilangan kompleks z=a+bi maka bentuk kutub dari bilangan kompleks ini adalah 

z = r cos θ  + i r sin θ
atau
z = r (cos θ  + i  sin θ)

Selanjutnya, bentuk ini ditulis dengan z=r cis θ. Untuk membaca materi lengkap, silahkan unduh di bawah ini.

Download PDF 

Materi Sebelumnya : Geometri Bilangan Kompleks
Materi Selanjutnya : Fungsi Peubah Kompleks


Link Cepat:

Kalkulus I                                
Kalkulus II            
Kalkulus Peubah Banyak          
Struktur Aljabar                      
Metode Numerik                      

Kuis

Untuk menguji pengetahuan dan pemahanan anda, silahkan kerjakan kuis disini

9 comments:

  1. Assalamualaikum
    Pak, saya belum paham penjelasan materi contoh soal halaman 3 yang ini ( arctan (y/x) = arctan (5√3/-5)= arctan(-√3) =2 pi/3+2k pi).

    ReplyDelete
    Replies
    1. Arg(z) = 2 pi/3 karena sin θ bernilai positif dan cos θ bernilai negatif, jadi θ berada di kuadran II

      Delete
  2. bentuk kutub (polar) bilangan kompleks kadang - kadang lebih mudah dinyatakan dalam suatu bilangan kompleks a + jb dalam bentuk yang lain.
    dimisalkan r = penjang vektor dan θ merupakan sudut yang dibuatnya..
    maka :
    r² = a² + b² dan r = √a² + √b²

    dan tan θ + = b/a

    juga a = r + cos + θ
    b = r + sin + θ

    ReplyDelete
  3. Sebuah bilangan kompleks z = x + iy, bentuk polar dapat dilihat pada gambar
    di atas. Dimana x = r cos θ dan y = r sin θ sehingga:
    z = r (cos θ + sin θ)i, dimana:
    r = |z| -(modulus bilangan kompleks)
    θ = arg(z) -(argumen bilangan kompleks), dengan range utamanya iyalah:
    0 <= arg(z) < 2π, maka arg(z) = arg(z) + k.2π
    Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang
    argand :
    r = √x²+y²
    = tan^(-1) y/x
    = arctan y/x


    ReplyDelete
  4. Misalkan z=(x,y)∈C, dengan z =(0,0). r adalah panjang vektor radius dari z. Vektor radius adalah vektor dari titik (0,0) ke (x,y), Lebih lanjut, r disebut modulus dari z, dengan notasi ∣z∣. θ adalah sudut yang terbentuk antara sumbu-x positif dengan vektor radius dari z.
    Setiap nilai θ ini disebut argumen dari z dan himpunan semua nilai θ dinyatakan sebagai arg z. Nilai utama dari arg z yang dinyatakan sebagai Arg z, merupakan nilai tunggal Θ yang memenuhi −π<Θ≤π. Hubungan antara keduanya adalah arg z= Arg z + 2nπ, n€z modulus z dapat ditentukan dengan teorema pythagoras.

    ReplyDelete
  5. 3. Tunjukan bahwa sin θ = (e^iθ- e^(-iθ))/2i
    Bukti :
    e^iθ=Cos θ+i sin⁡θ
    e^(-iθ)=Cos θ-i sin⁡θ
    e^iθ- e^(-iθ)=(cos⁡〖θ+i sin⁡θ 〗) – (cos θ-i sin⁡θ)
    e^iθ- e^(-iθ) = 2i sin θ
    sehingga dapat diperoleh :
    sin θ= (e^iθ- e^(-iθ))/2i

    ReplyDelete
  6. Suatu bilangan kompleks z = x + iy dapat juga didefinisikan
    sebagai pasangan terurut dua bilangan real x dan y yang ditulis
    dengan z = (x, y). Jika z = x + iy = (x, y) maka x dinamakan
    bagian real dari z dinyatakan dengan Re (z) dan y dinamakan
    bagian khayal dari z dan dinyatakan dengan Im (z) dimana x 
    R dan y  Im. Lambang z yang membuat bilangan kompleks
    disebut variabel kompleks. Pasangan terurut (x, 0)
    diidentifikasikan sebagai dengan real x, yaitu (x, 0) = x.
    Selanjutnya pasangan terurut (0, y) dinamakan bilangan imajiner
    sejati. Sehingga lambang imajiner i dapat dituliskan sebagai
    pasangan terurut (0, 1), yaitu i = (0, 1).

    ReplyDelete
  7. Kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub dinyatakan dalam definisi berikut, yang dapat dimanfaatkan untuk menentukan akar bilangan kompleks.
    Definisi: r cis t = ρ cis θ jika dan hanya jika r = ρ dan t = θ + 2kπ

    ReplyDelete