Kemonotonan Fungsi

Ringkasan:
Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0.

Aplikasi Turunan Fungsi

Ringkasan:
Salah satu aplikasi turunan adalah penentuan apakah suatu fungsi mengalami ekstrim lokal. Misalkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada interval [a,b], maka nilai ekstrim lokal dapat diselidiki berdasarkan turunannya.

Turunan Fungsi Transenden

Ringkasan:
Fungsi-fungsi transenden memiliki karakteristik tertentu. Turunan fungsi transenden dapat ditentukan dengan teknik tertentu sesuai definisinya.

Turunan Fungsi Elementer

Ringkasan:
Telah dikenal beberapa fungsi elementer dalam dunia ilmu pengetahuan. Fungsi Linier, Fungsi Kuadrat, Polinomial, Fungsi Rasional, Fungsi Eksponensial, Fungsi Trigonometri, dan Logaritma memiliki bentuk dan sifat yang berbeda. Pada materi ini akan dibahas sifat turunan pada fungsi-fungsi tersebut.

Turunan Fungsi

Ringkasan:
Nilai suatu fungsi berubah seiring berubahnya variabel bebas. Perubahan nilai fungsi dibandingkan dengan perubahan variabel ini dapat dinyatakan dalam bentuk Δf/Δx. Perubahan nilai fungsi pada saat veriabel bebas berubah secara perlahan mengarah pada konsep turunan fungsi.

Kontinuitas Fungsi

Ringkasan:
Jika suatu fungsi terdefinisi pada himpunan bilangan riil atau himpunan bagian dari himpunan bilangan riil, maka fungsi tersebut dapat digambarkan pada bidang kartesius sebagai kurva yang mulus. Kurva ini dapat tersambung terus menerus atau dapat juga terputus pada titik tertentu.  Kontinuitas suatu fungsi pada titik tertentu menunjukkan bahwa fungsi tidak terputus pada titik tersebut.

Limit Fungsi

Ringkasan:
Konsep pertama yang dikenalkan dalam kalkulus adalah limit dari suatu fungsi. Sebuah fungsi dapat memiliki limit atau tidak memiliki limit. Konsep limit menentukan apakah suatu fungsi kontinu atau tidak pada titik tertentu. Konsep ini juga nantinya menentukan apakah suatu fungsi memeiliki turunan dan terintegrasikan.

Himpunan & Fungsi

Ringkasan:
Sebelum membahas solusi masalah matematika perlu dijelaskan himpunan bilangan yang menjadi semesta pembicaraan. Himpunan ini dapat menjadi penjelasan apakah suatu persamaan memiliki solusi atau tidak. Selain himpunan, konsep fungsi juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah matematika. Fungsi menunjukkan pola atau aturan dari suatu fenomena nyata.

Rencana Pembelajaran

Ringkasan:
Permasalahan yang dihadapi manusia dalam dunia nyata dapat diselesaikan dengan pendekatan matematika. Pendekatan ini berupa penyusunan kasus-kasus dalam dunia nyata ke dalam persamaan-persamaan matematika. Persamaan-persamaan matematika ini biasanya melibatkan perhitungan pada fungsi dengan variabel riil. Kalkulus berperan untuk memberikan konsep-konsep perhitungan pada persamaan-persamaan tersebut.

Kemonotonan Fungsi

Ringkasan:
Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik dan monoton turun. Kemonotonan dijelaskan dengan karakteristik himpunan bilangan riil. Dari definisi kemonotonan dikembangkan teorema-teorema kemonotonan dan lompatan fungsi.

Teorema Kontinuitas Fungsi

Ringkasan:
Dari konsep kontinuitas fungsi dapat dikembangkan teorema-teorema baru. Teorema baru tersebut adalah keterbatasan, maksimum dan minimum, lokasi akar, dan teorema bolzano.

Kontinuitas Fungsi

Ringkasan:
Sebuah fungsi dapat ditinjau apakah kontinu atau tidak pada titik tertentu dan pada derah tertentu. Kontinuitas suatu fungsi riil didasarkan pada konsep titik limit.

Teorema Limit Fungsi

Ringkasan:
Suatu fungsi dapat dikatakan terbatas dengan syarat tertentu. Sifat keterbatasan fungsi selanjutnya dijelaskan dengan definisi dan teorema. Beberapa teorema lain yang berkaitan dengan limit fungsi juga akan dibahas, diantaranya limit pada fungsi polinomial, dua fungsi yang sama, fungsi dengan batas tertentu, dan teorema apit.

Titik Limit

Ringkasan:
Konsep titik limit mengarah pada suatu titik yang dapat didekati oleh titik-titik pada himpunan bilangan riil. Pada suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan riil bisa saja terdapat titik limit atau tidak terdapat titik limit.

Integral Fungsi Kompleks

Integral fungsi kompleks tidak sesederhana integral fungsi riil Perlu konsep dasar untuk mendukung ide-idenya. Konsep kurva mulus dan lintasan menjadi pondasi integral kompleks.

Rencana Pembelajaran

Ringkasan:
Analisis Riil 2 merupakan maata kuliah lanjutan dari analisis riil 1. Pokok bahasan pada mata kuliah ini ada kaitannya dengan pokok bahasan di mata kuliah analisis riil 1. Pada mata kuliah ini akan dibahas titik limit, limit fungsi, kontinuitas fungsi,  turunan fungsi, kemonotonan fungsi, dalil L'Hospital's, dan teorema Taylor.

Persamaan Cauchy-Riemann

Untuk mengatakan bahwa suatu fungsi peubah kompleks f(z) memiliki turunan di titik z₀ perlu dibuktikan apakah limit hasil bagi beda ada. Cara lain yang dapat ditempuh adalah menggunakan konsep persamaan Cauchy-Riemann.

Fungsi Analitik & Harmonik

Suatu fungsi f (z) dikatakan analitik pada titik z₀ jika turunannya ada di semua titik pada suatu lingkungan z₀. Analitisitas di z₀ berimplikasi dierensialitas di z₀ tetapi tidak berlaku sebaliknya.  

Limit & Kontinuitas Fungsi Kompleks

Konsep limit pada fungsi peubah kompleks sebenarnya tidak jauh berbeda dengan limit pada fungsi peubah riil. Perbedaan utama terletak pada makna pendekatan, jika sebuah bilangan riil dapat didekati dari dua arah maka sebuah bilangan kompleks dapat didekati dengan banyak arah pada suatu bidang.

Turunan Fungsi Kompleks

Konsep turunan pada fungsi peubah kompleks sebenarnya tidak jauh berbeda dengan turunan pada fungsi peubah riil. Perbedaan utama terletak pada luasnya pembicaraan bilangan kompleks.  

Fungsi Trigonometri & Hiperbolik

Fungsi trigonometri sudah dikenal dalam pembahasan fungsi peubah riil. Penggunaan konsep euler dapat menjadi dasar konsep fungsi trigonometri dalam peubah kompleks.

Fungsi Eksponensial & Logaritma

Fungsi kompleks merupakan pengembangan secara alami dari fungsi riil, oleh karenanya fungsi-fungsi yang dikenal pada peubah riil secara alami juga dapat dikembangkan pada peubah kompleks. 

Fungsi Peubah Kompleks

Fungsi yang umum dikenal sebenarnya adalah fungsi dengan peubah riil, yaitu fungsi yang memasangkan bilangan riil ke bilangan riil lain. Fungsi dapat didefinisikan dalam himpunan bilangan kompleks. Fungsi ini dinamakan fungsi peubah kompleks atau fungsi kompleks.

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks selain dinyatakan dalam bentuk a+bi, dapat dinyatakan dalam bentuk (a,b).  Sebagaimana pada bilangan riil, titik (a,b) pada bilangan kompleks juga dapat dapat dinyatakan dalam bentuk kutub.

Geometri Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks selain dinyatakan dalam bentuk a+bi, dia juga dapat dinyatakan dalam bentuk (a,b).  Hal ini tidak dapat disalahkan karena bentuk a+bi  apabila digambarkan dalam bidang kompleks akan identik dengan titik (a,b).

Limit Barisan Bilangan Riil

Ringkasan:
Suatu barisan bilangan riil bisa memiliki batas atau tidak memiliki batas. Konsep batas ini diilhami dari konsep limit. Keterbatasan ini juga mengarah pada konsep konvergensi. Selanjutnya akan dibahas teorema-teorema konvergensi barisan.

Interval Bilangan Riil

Ringkasan:
Himpunan bagian dari himpunan bilangan riil dapat membentuk bilangan yang beurutan dan dibatasi oleh bilangan tertentu. Himpunan bilangan riil yang dibatasi bilangan tertentu ini dinamakan interval. Selanjutnya akan dikenalkan konsep interval terbuka dan interval tertutup.

Sifat Kerapatan Bilangan Riil

Ringkasan:
Salah satu keunikan himpunan bilangan riil adalah sifat kerapatan bilangan riil. Rapat diartikan dengan jika ada dua buah bilangan riil maka diantara kedua bilangan itu ada bilangan riil yang lain. Untuk menjelaskan konsep ini diperlukan konsep archimedean.

Sifat Kelengkapan Bilangan Riil

Ringkasan:
Himpunan bagian dari himpunan bilangan riil memiliki karakteristik tertentu. Karakteristik ini dikenal dengan beberapa istilah yaitu terbatas, memiliki suprimum atau infimum. Dari ide-ide tersebut dikembangkan teorema-teorema kelangkapan bilangan riil.

Harga Mutlak

Ringkasan:
Himpunan bilangan riil mengandung unsur positif, negatif, dan nol. Dengan adanya karakteristik tersebut disusun sebuah fungsi yang mempositifkan anggota himpunan bilangan riil. Fungsi ini dinamakan harga mutlak.

Sifat Urutan Bilangan Riil

Ringkasan:
Bersandar pada sifat lapangan bilangan riil, dapat ditemukan teorema-teorema yang berkaitan urutan bilangan riil. Ada beberapa teorema yang penting dalam pembahasan urutan bilangan riil, yaitu sifat trikotomi dan pertidaksamaan.

Sifat Lapangan Bilangan Riil

Ringkasan:
Himpunan bilangan riil disertai operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur lapangan. Struktur lapangan memiliki karakteristik tertentu yang sering dinamakan sebagai aksioma lapangan.  Dari aksioma-aksioma ini dapat dikembangkan teorema dan sifat-sifat bilangan riil.

Ruang Hasil kali Dalam

Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V (misalkan pasangan u dan v, dinotasikan dengan <u, v> dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma.

Basis & Dimensi

Suatu ruang vektor dapat memiliki basis dan dimensi. Konsep basis dibangun berdasarkan konsep membangun dan bebas linier.

Membangun & Bebas Linier

Dalam pembahasan ruang vektor, menarik untuk dikaji apakah suatu himpunan dapat membangun ruang vektor. Konsep membangun selanjutnya disusun dan didefinisikan berdasarkan kombinasi linier dari vektor-vektor pada himpunan tersebut.

Ruang Vektor

Ruang vektor adalah sebuah struktur berisi himpunan vektor dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang memenuhi sepuluh aksioma. Konsep ruang vektor sangat berguna dalam penyelesaian suatu model matematika dimana dalam model tersebut mengandung bilangan dengan pola tertentu.

Vektor di R2 dan R3

Matriks yang berbentuk kolom dinamakan sebagai vektor. Vektor dengan banyak kolom 2 disebut vektor di R2, sedangkan vektor dengan banyak kolom 3 disebut vektor di R3. Vektor memiliki karakteristik tertentu jika dikaji secara geometri. Pembicaraan mengenai vektor akan mengarah kepada konsep besaran yang mempunyai nilai dan arah.

Ekspansi Kofaktor

Ekspansi kofaktor merupakan sebuah metode pendekatan untuk menentukan determinan matriks tanpa menggunakan denisinya. Dalam metode ini dikenal istilah Minor Elemen a_ij yang ditulis M_ij dan kofaktor elemen a_ij  yang ditulis C_ij. 

Determinan Matriks

Determinan matriks adalah suatu fungsi yang memasangkan matriks dengan sebuah bilangan riil. Determinan juga diartikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jika A berukuran n × n, maka hasil kali elementer dari matriks A akan berbentuk: a1p1 · a2p2 · a3p3 · · · anpn dimana p1, p2 · · · pn merupakan permutasi dari bilangan  bilangan 1, 2, 3, · · · n.

Sistem Persamaan Linier Homogen

Pesamaan linier adalah suatu pernyataan matematika yang berupa susunan variabel, koefisien, dan konstanta dimana semua variabel berpangkat satu. Misalnya persamaan linier dua variabel berbentuk ax+by=c, persamaan linier tiga variabel berbentuk ax+by+cz=d. Himpunan persamaan linier membentuk suatu model atau sistem. Sistem seperti ini dinamakan sistem persamaan linier atau disingkat SPL.

Persamaan Linier

Persamaan linier merupakan sebuah persamaan matematika yang mengandung variabel-variabel yang bukan fungsi pangkat, trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Dalam matematika sudah dikenal persamaan liniar satu variabel, dua variabel, dan n variabel. 

Matriks

Matriks dapat diartikan sebagai susunan bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Konsep matriks berguna dalam pengoperasian sekumpulan bilangan dalam susunan tertentu. Dengan konsep matriks kita dapat menambahkan, mengurangkan, dan mengalikan sekumpulan bilangan dalam susunan tertentu.

Homomorfisma

Misalkan (G,*) dan (G',*') adalah grup maka dapat ditentukan sebuah fungsi yang memasangkan setiap anggota G ke G', yaitu f : G → G'. Dari fungsi ini dikaji apakah ada hubungan antara operasi pada grup G dan operasi pada grup G'. Jika kedua operasi memiliki hubungan maka perlu dikaji apakah fungsi tersebut merupakan homomorfisma.

Grup Faktor

Misalkan H adalah subgrup dari G, maka dapat disusun koset-koset kiri dari H. Koset-koset kiri ini dapat dihimpun dalam sebuah himpunan yang dinamakan himpunan koset kiri. Himpunan berisi himpunan ini memiliki karakteristik tertentu. Selanjutnya dipelajari apakah himpunan berisi himpunan ini merupakan grup.

Subgrup Normal

Misalkan G adalah grup dan H adalah subgrup dari G. Pada subgrup H dapat dibangun koset kiri dan koset kanan. Koset adalah himpunan yang dibangun oleh subgrup yang dioperasikan dengan g anggota grup G dari kiri maupun dari kanan. Jika koset dibangun dengan mengoperasikan subgrup dengan g anggota G dari kiri maka dinamakan koset kiri. Jika koset dibangun dengan mengoperasikan subgrup dengan g anggota G dari kanan maka dinamakan koset kanan.

Bilangan Kompleks

Pada permasalahan matematika diperlukan jenis bilangan yang mampu mencakup semua masalah. Dalam matematika dikenal bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan riil. Bilangan-bilangan ini masih belum dapat menjelaskan solusi dari beberapa masalah matematika, terutama yang berkaitan dengan akar-akar dari suatu persamaan.